Rozważmy dwa zbiory.

1. Zbiór pierwszy, którego elementami są wszystkie państwa świata. Oznaczmy go literą $A$.

2. Zbiór drugi, do którego należą wszystkie miasta świata. Oznaczymy go literą $B$.

Możemy utworzyć  kilka przyporządkowań elementom jednego zbioru, elementów drugiego zbioru.

• Pierwsze przyporządkowanie: każdemu państwu świata przyporządkujemy miasta, które znajdują się na jego terytorium.
  Każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkowaliśmy kilkanaście elementów zbioru $B$.

• Drugie przyporządkowanie: każdemu państwu świata przyporządkujemy miasto, które jest jego stolicą.
  Każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkowaliśmy dokładnie jeden element zbioru $B$.

Dane są dwa zbiory.

Zbiór wszystkich samochodów zarejestrowanych w Polsce. Oznaczmy ten zbiór literą $A$. Zbiór kodów liczbowo‑literowych. Kody liczbowo‑literowe zbudowane są z różnej liczby liter i liczb, np. ABC124567, 365789 NG, hh12456, GH21ELA itd. Oznaczmy ten zbiór przez $B$.

Utwórzmy  różne przyporządkowania elementów jednego zbioru elementom zbioru drugiego.

• Pierwsze przyporządkowanie:  każdemu samochodowi zarejestrowanemu w Polsce przyporządkowano kod liczbowo‑literowy, który jest jego numerem rejestracyjnym. Każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkowaliśmy dokładnie jeden element zbioru $B$.

• Drugie przyporządkowanie: każdemu kodowi liczbowo‑literowemu przyporządkowujemy samochód zarejestrowany w Polsce. Niektórym elementom zbioru $B$ przyporządkowaliśmy dokładnie jeden element zbioru $A$.

Dane są dwa zbiory.

Zbiór pierwszy, którego elementami są wszystkie miasta w Polsce. Oznaczmy go literą $A$. Zbiór drugi, którego elementami są wszystkie numery kodów pocztowych. Oznaczymy go literą $B$.

Utwórzmy różne przyporządkowania elementów jednego zbioru elementom zbioru drugiego.

• Przyporządkowanie pierwsze: każdemu miastu w Polsce przyporządkowujemy numer kodu pocztowego. Każdemu elementowi zbioru $A$ przyporządkowaliśmy elementy zbioru $B$.

• Przyporządkowanie drugie: każdemu numerowi kodowemu przyporządkowujemy miasto w Polsce. Każdemu elementowi zbioru $B$przyporządkowaliśmy dokładnie jeden element zbioru $A$.

Dane są dwa niepuste zbiory: $X$ i $Y$. Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru $Y$. Symbolicznie oznaczamy $f:X\to Y$ i czytamy „funkcja $f$ odwzorowuje zbiór $X$ w zbiór $Y$”.

Utwórzmy dwa zbiory: zbiór $X$, którego elementami są imiona uczniów, zbiór $Y$, którego elementami są przedmioty egzaminacyjne.

$X$ = {Ania, Zosia, Jacek, Michał}.

$Y$ = {chemia, biologia, historia, geografia, fizyka, informatyka}.

Przyporządkowanie, które imionom uczniów przypisuje przedmioty egzaminacyjne, zdawane na maturze nie jest funkcją. Na przykład elementowi Ania przyporządkowane są dwa elementy ze zbioru $Y$: chemia, fizyka.

Utwórzmy zbiory $X$ i $Y$. $X$ – zbiór wszystkich trójkątów. $Y$ – zbiór odcinków, które mogą być wysokościami w trójkącie. Przyporządkowanie, które trójkątowi przyporządkowuje jego wysokości nie jest funkcją – jednemu trójkątowi możemy przyporządkować nawet trzy różne odcinki (wysokości).

Przykładem funkcji jest na przykład przyporządkowanie, które każdej osobie przypisuje jej numer PESEL.

dane są dwa niepuste zbiory $X$ i $Y$. Funkcją $f$ ze zbioru $X$ w zbiór $Y$ nazywamy przyporządkowanie, które każdemu elementowi zbioru $X$ przyporządkowuje dokładnie jeden element zbioru $Y$

zbiór tych elementów przeciwdziedziny funkcji, które zostały przyporządkowane co najmniej jednemu elementowi z dziedziny funkcji