Przeczytaj

W trakcie lekcji poznamy metody zamiany postaci ogólnej równania okręgu na postać kanoniczną i na odwrót.

Już wiesz

Równanie okręgu możemy zapisać w postaci kanonicznej i ogólnej.

Postać kanoniczną równania okręgu zapisujemy za pomocą równania:

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $S = (a, b)$ - środek okręgu, $r$ - promień okręgu.

Równanie okręgu w postaci ogólnej zapiszemy natomiast następująco:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , przy czym $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ oraz $r > 0$ .

Zamiana postaci kanonicznej równania okręgu na postać ogólną

sposób $I$

Wykorzystując wzory skróconego mnożenia, równanie ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ przekształcamy do postaci:

$x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} - r^{2} = 0$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy, że: $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} - r^{2} = 0$ .

Gdy oznaczymy wyrażenie $a^{2} + b^{2} - r^{2}$ literą $c$ , otrzymamy postać ogólną równania okręgu:

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ .

sposób $II$

Z postaci kanonicznejpostaci kanonicznej równania okręgu możemy odczytać wartości $a, b$ oraz $r^{2}$ .

Do wyznaczenia postaci ogólnej wystarczy wykorzystać wzór $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Mając współczynniki $a, b, c$ możemy zapisać postać ogólną równania okręgu.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie ogólne okręgu zadanego w postaci kanonicznej:

${(x - 3)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$ .

Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia mamy, że: $x^{2} - 6 x + 9 + y^{2} + 4 y + 4 = 16$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy postać ogólną równania okręgu:

$x^{2} + y^{2} - 6 x + 4 y - 3 = 0$ .

Przykład 2

Wyznaczymy postać ogólnąrównanie okręgu w postaci ogólnejpostać ogólną równania okręgu zadanego w postaci kanonicznej: ${(x + 1)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 9$ .

Odczytujemy wartości: $a = - 1$ , $b = 3$ oraz $r^{2} = 9$ .

Podstawiamy do wzoru $c = a^{2} + b^{2} - r^{2}$ .

Otrzymujemy, że $c = {(- 1)}^{2} + 3^{2} - 9 = 1 + 9 - 9 = 1$ .

Wartości współczynników podstawiamy do postaci ogólnej równania okręgu i otrzymujemy, że:

$x^{2} + y^{2} - 2 \cdot (- 1) x - 2 \cdot 3 y + 1 = 0$ .

Po uporządkowaniu, otrzymujemy postać ogólną równania okręgu:

$x^{2} + y^{2} + 2 x - 6 y + 1 = 0$ .

Zamiana postaci ogólnej równania okręgu na postać kanoniczną

sposób $I$

W tym przypadku skorzystamy z metody uzupełniania do kwadratu.

Do obu stron równania $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ dodamy wyrażenie $a^{2} + b^{2}$ .

Otrzymujemy, że $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + a^{2} + b^{2} + c = a^{2} + b^{2}$ .

Grupujemy następnie wyrazy równania do postaci: $x^{2} - 2 a x + a^{2} + y^{2} - 2 b y + b^{2} = a^{2} + b^{2} - c$ .

Skorzystamy teraz ze wzorów skróconego mnożenia. Otrzymujemy, że ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = a^{2} + b^{2} - c$ .

Wyrażenie $a^{2} + b^{2} - c$ oznaczymy jako $r^{2}$ i otrzymujemy w ten sposób postać kanoniczną równania okręgu: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

sposób $II$

Z postaci ogólnej równania okręgu $x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ możemy odczytać wartości współczynników $a, b$ oraz $c$ .

Po wykorzystaniu wzoru $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ , otrzymamy postać kanoniczną równania okręgu: ${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ .

Przykład 3

Równanie okręgu $x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 13 = 0$ zapiszemy w postaci kanonicznej.

Zapiszmy podane równanie jako:

$x^{2} + y^{2} - 4 x + 10 y + 13 + 4 + 25 = 29$ .

Po uporządkowaniu otrzymujemy, że $x^{2} - 4 x + 4 + y^{2} + 10 y + 25 = 16$ .

Wykorzystując metodę zwijania do kwadratu, otrzymujemy: ${(x - 2)}^{2} + {(y + 5)}^{2} = 16$ .

Przykład 4

Znajdziemy postać kanoniczną równania okręgu zapisanego w postaci $x^{2} + y^{2} + 6 x - 2 y + 6 = 0$ .

Z równania możemy odczytać, że $- 2 a = 6$ , $- 2 b = - 2$ oraz $c = 6$ .

Zatem $a = - 3$ , $b = 1$ , $c = 6$ .

Obliczamy wartość $r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + 1^{2} - 6} = \sqrt{4} = 2$ .

Podstawiamy otrzymane liczby do postaci kanonicznej i otrzymujemy:

${(x + 3)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ .

Słownik

równanie okręgu w postaci kanonicznej

${(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2} = r^{2}$ , gdzie $S = (a, b)$ - środek okręgu, $r$ - promień okręgu

równanie okręgu w postaci ogólnej

$x^{2} + y^{2} - 2 a x - 2 b y + c = 0$ , gdzie $r = \sqrt{a^{2} + b^{2} - c}$ i $r > 0$

Wprowadzenie

Film samouczek

Zamiana postaci kanonicznej równania okręgu na postać ogólną

sposób $I$

sposób $II$

Zamiana postaci ogólnej równania okręgu na postać kanoniczną

sposób $I$

sposób $II$

Słownik

Wprowadzenie

Film samouczek

Przeczytaj

Zamiana postaci kanonicznej równania okręgu na postać ogólną

sposób I

sposób II

Zamiana postaci ogólnej równania okręgu na postać kanoniczną

sposób I

sposób II

Słownik

sposób $I$

sposób $II$

sposób $I$

sposób $II$