Przeczytaj

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń ma analogiczne zastosowania, jak wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy. Wyrażenia algebraiczne będziemy więc przekształcać w podobny sposób, zwracając przy tym uwagę na fakt, że kwadrat sumy „rozwijał się” w sumę $3$ wyrazów, a sześcian sumy „rozwija się” w sumę $4$ wyrazów.

Obliczenia arytmetyczne

Wzór skróconego mnożenia na sześcian sumyWzór skróconego mnożenia na sześcian sumy dwóch wyrażeń można wykorzystać do szybkiego obliczenia sześcianów niektórych liczb.

Przykład 1

Aby obliczyć sześciany liczb $14$ , $31$ , $102$ zapisujemy każdą z nich w postaci sumy pełnych dziesiątek, setek lub tysięcy oraz liczby jednocyfrowej i korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia.

14^{3} = {(10 + 4)}^{3} = 10^{3} + 3 \cdot 100 \cdot 4 + 3 \cdot 10 \cdot 16 + 4^{3} = 2744

31^{3} = {(30 + 1)}^{3} = 30^{3} + 2700 + 90 + 1^{3} = 27000 + 2791 = 29791

102^{3} = {(100 + 2)}^{3} = 100^{3} + 60000 + 1200 + 2^{3} = 1000000 + 61208 = 1061208

Przykład 2

W podobny sposób jak w powyższym przykładzie, obliczymy sześciany liczb mieszanych $2 \frac{1}{3}$ , $1 \frac{3}{4}$ .

{(2 \frac{1}{3})}^{3} = {(2 + \frac{1}{3})}^{3} = 2^{3} + 4 + \frac{2}{3} + {(\frac{1}{3})}^{3} = 12 \frac{2}{3} + \frac{1}{27} = 12 \frac{19}{27}

{(1 \frac{3}{4})}^{3} = {(1 + \frac{3}{4})}^{3} = 1^{3} + \frac{9}{4} + \frac{27}{16} + {(\frac{3}{4})}^{3} = 1 + \frac{9}{4} + \frac{27}{16} + \frac{27}{64} = 5 \frac{23}{64}

Przykład 3

Wykażemy, że liczba $K = \sqrt[3]{2021 + 2020 \cdot 2021 \cdot 2022}$ jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:

Oznaczmy: $m = 2021$ .

Wtedy:

$m - 1 = 2020$

$m + 1 = 2022$

Stąd:

K = \sqrt[3]{m + (m - 1) m (m + 1)}

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia i zapisujemy iloczyn $(m - 1) (m + 1)$ jako różnicę kwadratów: $m^{2} - 1$ .

Przekształcamy wyrażenie podpierwiastkowe.

K = \sqrt[3]{m + (m^{2} - 1) m}

K = \sqrt[3]{m + m^{3} - m}

K = \sqrt[3]{m^{3}} = m

Ponieważ $m = 2021$ , stąd $K = \sqrt[3]{2021^{3}} = 2021$ .

Liczba $2021$ jest liczbą całkowitą, co należało udowodnić.

Przekształcenia algebraiczne

Wzór ${(a + b)}^{3}$ zastosujemy teraz do rozkładu na czynniki sumy algebraicznej w równaniu. Ułatwi to znacznie rozwiązanie równania stopnia trzeciego.

Przykład 4

Rozwiążemy równanie $x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125 = 0$ .

Rozwiązanie:

Lewą stronę równania zapisujemy w postaci sześcianu dwumianu.

x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125 = 0

{(x + 5)}^{3} = 0

Stąd:

x + 5 = 0

x = - 5

Rozwiązaniem równania jest liczba $(- 5)$ .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0$ .

Rozwiązanie:

Przekształcamy lewą stronę równania tak, aby otrzymać „rozwinięcie” sześcianu sumy i kwadratu sumy.

x^{3} + 7 x^{2} + 16 x + 12 = 0

(x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8) + (x^{2} + 4 x + 4) = 0

„Zwijamy” sumy w nawiasach odpowiednio w sześcian sumy i kwadrat sumy.

{(x + 2)}^{3} + {(x + 2)}^{2} = 0

Wyłączamy wspólny czynnik (czyli ${(x + 2)}^{2}$ ) przed nawias.

{(x + 2)}^{2} (x + 2 + 1) = 0

{(x + 2)}^{2} (x + 3) = 0

Zapisujemy równanie w postaci równoważnej alternatywy.

$x + 2 = 0$ lub $x + 3 = 0$

$x = - 2$ lub $x = - 3$

Odpowiedź:

Równanie ma dwa pierwiastki $- 3$ i $- 2$ (pierwiastek podwójny).

Wzór ${(a + b)}^{3}$ jest często przydatny w skracaniu wyrażeń wymiernych.

Przykład 6

Zapiszemy w najprostszej postaci wyrażenie $M = \frac{8 x^{3} + 6 x y^{2} + 12 x^{2} y + y^{3}}{(2 y + 4 x) (2 x + y)}$ .

Wyłączmy wspólny czynnik w mianowniku wyrażenia.

M = \frac{8 x^{3} + 6 x y^{2} + 12 x^{2} y + y^{3}}{2 (y + 2 x) (2 x + y)}

W liczniku sumę algebraiczną zapisujemy w postaci sześcianu dwumianu, a w mianowniku w postaci kwadratu dwumianu.

M = \frac{{(2 x + y)}^{3}}{2 {(2 x + y)}^{2}}

Skracamy.

M = \frac{2 x + y}{2}

Dowodzenie twierdzeń

Aby wykorzystać wzór skróconego mnożenia na sześcian sumywzór skróconego mnożenia na sześcian sumy w dowodzeniu twierdzeń, trzeba najpierw dokładnie przeanalizować założenie oraz tezę twierdzenia. O zastosowaniu wzoru najczęściej wnioskujemy na podstawie zapisanych w treści twierdzenia wyrażeń algebraicznych.

Przykład 7

Uzasadnimy, że jeśli $x$ , $y$ są liczbami rzeczywistymi takimi, że $x + y + z = 0$ to $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3 x y z$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że jeśli $x + y + z = 0$ to $z = - x - y$ , czyli $x + y = - z$ .

Stąd:

x^{3} + y^{3} + z^{3} = x^{3} + y^{3} - {(x + y)}^{3} = - 3 x^{2} y - 3 x y^{2} = 3 x y (- x - y) = 3 x y z

Przykład 8

Uzasadnimy, ze jeśli liczba $a + \frac{1}{a}$ jest liczbą całkowitą, to liczba $a^{3} + \frac{1}{a^{3}}$ też jest liczbą całkowitą.

Rozwiązanie:

Oznaczmy: $K = a + \frac{1}{a}$ .

Podnosimy do sześcianu obie strony zapisanej równości.

K^{3} = {(a + \frac{1}{a})}^{3}

K^{3} = a^{3} + 3 \cdot a^{2} \cdot \frac{1}{a} + 3 \cdot a \cdot \frac{1}{a^{2}} + \frac{1}{a^{3}}

K^{3} = a^{3} + 3 a + \frac{3}{a} + \frac{1}{a^{3}}

Grupujemy odpowiednio wyrazy i przekształcamy tak, aby po lewej stronie otrzymać rozważaną sumę.

K^{3} = 3 (a + \frac{1}{a}) + (a^{3} + \frac{1}{a^{3}})

a^{3} + \frac{1}{a^{3}} = K^{3} - 3 K

Ponieważ $K$ jest liczbą całkowitą, zatem i prawa strona równości jest liczbą całkowitą, a co za tym idzie i lewa strona równości to liczba całkowita, co należało wykazać.

Słownik

wzór skróconego mnożenia na sześcian sumy

sześcian sumy dwóch wyrażeń jest równy sumie sześcianów tych wyrażeń plus potrojony kwadrat pierwszego wyrażenia przez drugie, plus potrojony iloczyn drugiego wyrażenia przez kwadrat pierwszego wyrażenia

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Obliczenia arytmetyczne

Przekształcenia algebraiczne

Dowodzenie twierdzeń

Słownik