Dla dowolnych $x,y\in \mathrm{ℝ}$ zachodzą następujące wzory:

1. $\sin (x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y$

2. $\sin (x-y)=\sin x·\cos y-\cos x·\sin y$

3. $\cos (x+y)=\cos x·\cos y-\sin x·\sin y$

4. $\cos (x-y)=\cos x·\cos y+\sin x·\sin y$.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y$ spełniających warunki $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $y\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $x+y\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, zachodzi wzór:

5. $\mathrm{tg}(x+y)=\frac{\mathrm{tg}x+\mathrm{tg}y}{1-\mathrm{tg}x·\mathrm{tg}y}$.

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $x,y$ spełniających warunki $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $y\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $x-y\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, zachodzi wzór:

6. $\mathrm{tg}(x-y)=\frac{\mathrm{tg}x-\mathrm{tg}y}{1+\mathrm{tg}x\mathrm{tg}y}$.

Obliczymy $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)$, przy założeniu, że
$\sin \alpha =-0,6$ i $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na cosinus różnicy argumentów zapisujemy: $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\cos \frac{\pi }{3}\cos \alpha +\sin \frac{\pi }{3}\sin \alpha =\frac{1}{2}\cos \alpha +\frac{\sqrt{3}}{2}\sin \alpha$

Ponieważ $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$, więc $\cos \alpha <0$.

Wyliczamy $\cos \alpha$ korzystając z jedynki trygonometryczejjedynka trygonometrycznajedynki trygonometryczej:

$\cos \alpha =-\sqrt{1-(-0,6{)}^2}=-\sqrt{1-0,36}=-0,8$.

Obliczamy zatem wartość wyrażenie: $\cos \left(\frac{\pi }{3}-\alpha \right)=\frac{1}{2}·\left(-\frac{4}{5}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}·\left(-\frac{3}{5}\right)=-\frac{4+3\sqrt{3}}{10}$.

Obliczymy wartość wyrażenia: $\sin 127°·\cos 23°+\cos 194°+\cos 37°·\cos 383°$.

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzorów redukcyjnychwzory redukcyjnewzorów redukcyjnych zapisujemy:

1. $\sin 127°=\sin \left(37°+90°\right)=\cos 37°$,

2. $\cos 194°=\cos \left(14°+180°\right)=-\cos 14°$,

3. $\cos 383°=\cos \left(23°+360°\right)=\cos 23°$.

Zatem wyrażenie przyjmuje wartość:

$\begin{array}{l}\sin 127°·\cos 23°+\cos 194°+\cos 37°·\cos 383°=\\ =\cos 37°·\cos 23°+\cos 37°·\cos 23°-\cos 14°\end{array}$.

Zauważmy, że

$\cos 14°=\cos \left(37°-23°\right)=\cos 37°·\cos 23°+\sin 37°·\sin 23°$.

Wobec tego otrzymujemy:

$-\cos 14°+2\cos 37°·\cos 23°=$

$=-\cos \left(37°-23°\right)+2\cos 37°·\cos 23°=$

$=-\cos 37°·\cos 23°-\sin 37°·\sin 23°+2\cos 37°·\cos 23°=$

$=\cos 37°·\cos 23°-\sin 37°·\sin 23°$.

W tej sytuacji możemy wykorzystać wzór i zapisać powstałe wyrażenie jako cosinus sumy:

$\cos \left(37°+23°\right)=\cos 60°=\frac{1}{2}$.

Obliczymy $\mathrm{tg}(\alpha -\beta )$ przy założeniu, że $\mathrm{tg}\alpha =2$ i $\cos \beta =-\frac{7}{25}$ i $90°<\beta <180°$.

Rozwiązanie:

Ponieważ $90°<\beta <180°$, zatem $\sin \beta >0$.

Wobec tego możemy wyliczyć $\sin \beta$:

$\sin \beta =\sqrt{1-{\left(\frac{7}{25}\right)}^2}=\frac{24}{25}$,

a następnie:

$\mathrm{tg}\beta =\frac{\frac{24}{25}}{-\frac{7}{27}}=-\frac{24}{7}$.

Pozostaje teraz zastosować wzór na tangens różnicy argumentów:

$\mathrm{tg}\left(\alpha -\beta \right)=\frac{\mathrm{tg}\alpha -\mathrm{tg}\beta }{1+\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }=\frac{2+\frac{24}{7}}{1+2·\left(-\frac{24}{7}\right)}=\frac{14+24}{7-48}=\frac{38}{41}$.

Uzasadnimy, że wartość wyrażenia: $\cos \left(150°-\alpha \right)-\cos \left(210°+\alpha \right)$ nie zależy od wartości kąta $\alpha$.

Korzystając ze wzorów na cosinus różnicy argumentów oraz ze wzorów redukcyjnych policzmy:

$\cos \left(150°-\alpha \right)=\cos 150°·\cos \alpha +\sin 150°·\sin \alpha =$

$=\cos \left(180°-30°\right)·\cos \alpha +\sin \left(180°-30°\right)·\sin \alpha =$

$=-\cos 30°·\cos \alpha +\sin 30°·\sin \alpha =-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha$.

Korzystając ze wzorów na cosinus sumy argumentów oraz ze wzorów redukcyjnych policzmy:

$\cos \left(210°+\alpha \right)=\cos \left(30°+\left(180°+\alpha \right)\right)=$

$=\cos 30°·\cos \left(180°+\alpha \right)-\sin 30°·\sin \left(180°+\alpha \right)=$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}·(-\cos \alpha )-\frac{1}{2}·(-\sin \alpha )=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha$.

Wykorzystując powyższe obliczenia możemy już policzyć wartość wyrażenia z zadania:

$\cos \left(150°-\alpha \right)-\cos \left(210°+\alpha \right)=$

$=-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha -\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha \right)=$

$=\frac{1}{2}\sin \alpha -\frac{1}{2}\sin \alpha =0$.

Obliczenia pokazują, że wyrażenie $\cos \left(150°-\alpha \right)-\cos \left(210°+\alpha \right)=0$, czyli nie zależy od wartości kąta $\alpha$.

podstawowa tożsamość trygonometryczna: dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniona jest równość: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$

zależności pozwalające wyliczać wartości funkcji trygonometryczne argumentu różniącego się od danego argumentu o całkowitą wielokrotność $\frac{\pi }{2}$