Przeczytaj

Zgodnie z definicją wartości bezwzględnej, liczba $|x|$ jest zawsze nieujemna.

Funkcję określoną wzorem $f (x) = |\log_{a} x|$ oraz $a > 1$ definiujemy w postaci:

$f (x) = \log_{a} x$ dla $x \geq 1$ ,
$f (x) = - \log_{a} x$ dla $x \in (0, 1)$ .

Analogicznie definiuje się $f (x) = |\log_{a} x|$ , gdy $a \in (0, 1)$ .

Ciekawostka

Wykres funkcjiprzekształcenie wykresu funkcji $|f (x)|$ przekształcenie wykresu funkcji $|f (x)|$ Wykres funkcjiprzekształcenie wykresu funkcji $|f (x)|$ dla $f (x) = \log_{a} x$ znaduje się zawsze w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych.

Wynika to z faktu, że wartość bezwględna przyjmuje tylko wartości nieujemne.

Naszkicujemy wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = |\log_{3} x|$ .

W tym celu posłużymy się wykresem funkcji określonej wzorem $f (x) = \log_{3} x$ .

Wartości dla wybranych argumentów funkcji $f$ i $g$ przedstawimy w tabeli:

$x$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$
$f (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$
$g (x)$	$2$	$1$	$0$	$1$	$2$

Wykresy tych funkcji przedstawiono na poniższym rysunku:

RfW3eAtUKZlwM

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus trzech do czterech. Na płaszczyźnie narysowane są dwa wykresy funkcji. Pierwszy z nich zadany jest wzorem fx=log3x. Drugi zadany jest wzorem gx=log3x. Na fragmencie dziedziny (0;1⟩ wykresy są symetryczne względem osi X. W pozostałej części dziedziny, czyli na przedziale 1;∞ wkresy pokrywają się, co wymusza przyłożona wartość bezwzględna. Na płaszczyźnie wyróżniono punkt wspólny obu wykresów o współrzędnych 1;0. Oś Y jest asymptotą pionową obu funkcji.

Przy szkicowaniu wykresu funkcji $f (x) = |\log_{a} x|$ należy:

pozostawić bez zmian tę część wykresu, która znajduje się nad osią $X$ ,
odbić symetrycznie względem osi $X$ tę część wykresu, która znajduje się pod osią odciętych.

Analizując wzory oraz wykresy tych funkcji możemy zauważyć, że:

dla $x \in (0, 1 ⟩$ wykresy funkcji $f$ i $g$ są symetryczne względem osi $X$ układu współrzędnych,
zbiorem wartości funkcji $f$ jest zbiór liczb rzeczywistych, zaś zbiorem wartości funkcji $g$ jest zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych,
funkcja $f$ jest rosnąca, a funkcja $g$ jest przedziałami monotoniczna: dla $x \in (0, 1 ⟩$ jest malejąca, dla $x \in ⟨ 1, \infty)$ jest rosnąca.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $g (x) = |\log_{\frac{1}{2}} x + 2|$ .

R13M5Dq4SGiBJ

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do dziewięciu oraz z pionową osią Y od minus jeden do czterech. Na płaszczyźnie narysowany jest wykres funkcji gx=log12x+2. Funkcja ta jest malejąca na fragmencie dziedziny 0;4. W punkcie o współrzędnych 4;0 jest odbita względem osi X i od tego punktu funkcja jest rosnąca na dziedzinie.

Z wykresu odczytamy:

a) zbiór wartości tej funkcji,

b) wartość funkcji dla argumentu $8$ ,

c) przedziały monotoniczności tej funkcji.

Rozwiązanie:

a) Zbiorem wartości tej funkcji jest zbiór $⟨ 0, \infty)$ .

b) Wartość funkcji dla argumentu $8$ wynosi $1$ .

c) Funkcja jest malejąca w przedziale $(0, 4 ⟩$ oraz rosnąca w przedziale $⟨ 4, \infty)$ .

Przykład 2

Dana jest funkcja określona wzorem $f (x) = |\log_{2} x - 1|$ . Wyznaczymy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość $1$ .

Dziedziną tej funkcji jest zbiór $x \in (0, \infty)$ .

W celu wyznaczenia argumentów, dla których wartość funkcji wynosi $1$ rozwiążemy równanie $|\log_{2} x - 1| = 1$ .

Zatem $\log_{2} x - 1 = 1$ lub $\log_{2} x - 1 = - 1$ .

Rozwiązaniami równań są odpowiednio liczby: $4$ lub $1$ . Zatem funkcja przyjmuje wartość $1$ dla argumentów $1$ oraz $4$ .

Jeżeli podane są współrzędne punktu, różnego od $(1, 0)$ , który należy do wykresu funkcji logarytmicznej złożonej z funkcją wartość bezwzględna, wówczas możemy wyznaczyć jej wzór oraz własności.

Przykład 3

Do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = |\log_{a} x|$ należy punkt o współrzędnych $(25, 4)$ .

Wyznaczymy wzór tej funkcji i obliczymy wartość funkcji dla argumentu $\frac{1}{5}$ .

W celu wyznaczenia wartości $a$ rozwiązujemy równanie:

$4 = |\log_{a} 25|$ .

Zatem $4 = \log_{a} 25$ lub $- 4 = \log_{a} 25$ .

Rozwiązaniem równań są odpowiednio liczby $a = \sqrt{5}$ lub $a = \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Funkcja może być w związku z tym opisana za pomocą wzorów $f (x) = |\log_{\sqrt{5}} x|$ lub $f (x) = |\log_{\frac{\sqrt{5}}{5}} x|$ .

Zatem $f (\frac{1}{5}) = |\log_{\sqrt{5}} \frac{1}{5}| = 2$ lub $f (\frac{1}{5}) = |\log_{\frac{\sqrt{5}}{5}} \frac{1}{5}| = 2$ .

Przykład 4

Na wykresie przedstawiono wykres funkcji określonej wzorem $f (x) = |\log_{2} x + q|$ .

RNGNHOLQKGrno

Wyznaczymy:

a) wartość $q$ ,

b) zbiór argumentów, dla których funkcja przyjmuje wartości większe od $1$ .

Rozwiązanie:

a) Do wykresu funkcji należą punkty o współrzędnych $(2, 1)$ i $(8, 1)$ .

W celu wyznaczenia wartości $q$ rozwiążemy równanie:

$1 = |\log_{2} 2 + q|$ , zatem $1 = |1 + q|$ .

Stąd $q = 0$ lub $q = 2$ .

Dla $q = 0$ punkt o współrzędnych $(8, 1)$ nie należy do wykresu tej funkcji, bo $f (8) = |\log_{2} 8| = 3 \neq 1$ , zatem funkcja jest określona za pomocą wzoru $f (x) = |\log_{2} x + 1|$ .

b) Z wykresu możemy odczytać, że $f (x) > 1$ dla $x \in (0, 2) \cup (8, \infty)$ .

Słownik

funkcja logarytmiczna

funkcja określona wzorem $f (x) = \log_{a} x$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x > 0$

przekształcenie wykresu funkcji

|f (x)|

przekształcenie wykresu funkcji

|f (x)|

odbicie symetryczne względem osi $X$ tej części wykresu, która znajduje się pod osią $X$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik