Przeczytaj

W trakcie lekcji omówimy sposoby wyznaczania równania prostej symetrycznej do prostej o zadanym równaniu, względem osi odciętych układu współrzędnych.

Do wyznaczania równań prostych w symetrii względem osi $X$ wykorzystamy definicję punktów symetrycznych względem osi $X$ .

punkty symetryczne względem osi

X

Definicja: punkty symetryczne względem osi

X

Punktem symetrycznym do punktu $P$ o współrzędnych $P = (x, y)$ względem osi $X$ jest punkt $P'$ o współrzędnych $P' = (x, - y)$ .

Punktami symetrycznymi względem osi $X$ punkty symetryczne względem osi XPunktami symetrycznymi względem osi $X$ są na przykład punkty o współrzędnych:

$P = (3, 1)$ oraz $P' = (3, - 1)$ ,
$P = (0, - 4)$ oraz $P' = (0, 4)$ ,
$P = (2, 0)$ oraz $P' = (2, 0)$ .

Ważne!

Obrazem punktu $P = (x, 0)$ w symetrii względem osi $X$ jest ten sam punkt.

W celu wyznaczenia równania prostej w symetrii względem osi $X$ posłużymy się równaniem ogólnym oraz równaniem kierunkowym prostej.

Do wyznaczenia równania prostej możemy posłużyć się wzorem na współczynnik kierunkowy prostej lub wyznaczyć jej równanie za pomocą układu równań z dwiema niewiadomymi.

Sposób $I$

Wyznaczenie równania prostej symetrycznej względem osi $X$ , gdy dane są: punkt przecięcia z osią $X$ i przecięcia z osią $Y$ , a równanie prostej zapisane jest w postaci ogólnej.równanie prostej w postaci ogólnejpostaci ogólnej.

Określimy prostą za pomocą równania w postaci ogólnej $A x + B y + C = 0$ .

Załóżmy, że współczynniki $A$ , $B$ , $C$ są różne od $0$ .

Punkt przecięcia tej prostej z osią $X$ ma wówczas współrzędne $K = (- \frac{C}{A}, 0)$ , a punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $L = (0, - \frac{C}{B})$ .

Określimy prostą symetryczną względem osi $X$ za pomocą równania w postaci ogólnej $A' x + B' y + C' = 0$ .

Załóżmy, że współczynniki $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ są różne od $0$ .

Do tej prostej należą punkty o współrzędnych $K' = (- \frac{C}{A}, 0)$ oraz $L' = (0, \frac{C}{B})$ .

Podstawimy współrzędne tych punktów do równania ogólnego tej prostej. Otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} A' \cdot \frac{- C}{A} + B' \cdot 0 + C' = 0 \\ A' \cdot 0 + B' \cdot \frac{C}{B} + C' = 0 \end{cases}$

Jeżeli pierwsze równanie pomnożymy przez $A$ , a drugie przez $B$ , to otrzymamy układ równań:

$\{\begin{cases} - A' C + A C' = 0 \\ B' C + B C' = 0 \end{cases}$

Zatem $A' = \frac{A C'}{C}$ oraz $B' = \frac{- B C'}{C}$ .

Jeżeli podstawimy obliczone współczynniki do równania prostej symetrycznej, to otrzymujemy równanie:

$\frac{A C'}{C} x + \frac{- B C'}{C} y + C' = 0$

Mnożąc obie strony równania przez ułamek $\frac{C}{C'}$ , otrzymujemy równanie prostej symetrycznej do prostej $A x + B y + C = 0$ względem osi $X$ :

$A x - B y + C = 0$

Sposób $II$

Wyznaczenie równania prostej symetrycznej względem osi $X$ , gdy dane są dwa punkty: przecięcia z osią $X$ oraz przecięcia z osią $Y$ , a równanie prostej zapisane jest w postaci kierunkowejpostaci kierunkowej.

Opiszemy prostą w postaci kierunkowej za pomocą równania $y = a x + b$ .

Punkt przecięcia tej prostej z osią $X$ ma wówczas współrzędne $P = (- \frac{b}{a}, 0)$ , a punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $Q = (0, b)$ .

Obrazem punktu $P$ w symetrii względem osi $X$ jest punkt o współrzędnych $P' = (- \frac{b}{a}, 0)$ , a obrazem punktu $Q$ jest punkt o współrzędnych $Q' = (0, - b)$ .

Zapiszmy równanie prostej symetrycznej względem osi $X$ w postaci $y = a' x + b'$ .

Podstawimy współrzędne punktów $P'$ oraz $Q'$ do równania tej prostej. Otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 0 = a' \cdot (- \frac{b}{a}) + b' \\ - b = a' \cdot 0 + b' \end{cases}$

Z układu równań obliczamy, że $a' = - a$ oraz $b' = - b$ , zatem równanie prostej symetrycznej do prostej $y = a x + b$ względem osi $X$ zapisujemy w postaci: $y = - a x - b$ .

Jeżeli $a = 0$ , to proste o równaniach $y = b$ oraz $y = - b$ , gdy $b \in ℝ$ , są symetryczne względem osi $X$ .

Przykład 1

Wyznaczymy równania prostych symetrycznych względem osi $X$ do prostych określonych równaniami:

a) $3 x - 2 y + 5 = 0$

b) $y = - 3 x + 2$

Rozwiązanie:

a) Równanie ogólne prostej symetrycznej względem osi $X$ jest postaci $3 x + 2 y + 5 = 0$ .

b) Równanie kierunkowe prostej symetrycznej względem osi $X$ jest postaci $y = 3 x - 2$ .

Do wyznaczenia równania prostej w postaci kierunkowej wystarczy znać współrzędne dwóch dowolnych punktów, które należą do tej prostej.

Zatem do wyznaczenia równania prostej symetrycznej względem osi $X$ wystarczy znaleźć obrazy w symetrii względem osi $X$ tych dwóch dowolnych punktów, a następnie wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty.

Przykład 2

Wyznaczymy równanie prostej w symetrii względem osi $X$ do prostej o równaniu $y = - 2 x + 1$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że do podanej prostej należą punkty o współrzędnych $A = (1, - 1)$ oraz $B = (- 1, 3)$ .

Obrazem tych punktów w symetrii względem osi $X$ są punkty o współrzędnych $A' = (1, 1)$ oraz $B' = (- 1, - 3)$ .

Oznaczmy równanie prostej w symetrii względem osi $X$ w postaci $y = a' x + b'$ .

Podstawiamy do tego równania współrzędne punktów $A'$ oraz $B'$ i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 1 = a' + b' \\ - 3 = - a' + b' \end{cases}$

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $a' = 2$ oraz $b' = - 1$ .

Zatem prosta symetryczna względem osi $X$ jest opisana za pomocą równania $y = 2 x - 1$ .

Jeżeli wiemy, jakie warunki muszą spełniać współczynniki w równaniach prostych w symetrii względem osi $X$ , wówczas możemy znajdować wartości parametrów, dla których te proste są symetryczne względem osi odciętych.

Przykład 3

Wyznaczymy, dla jakiej wartości parametru $m$ , proste o równaniach $y = m^{2} x + 1$ oraz $y = (m - 1) x - 1$ są symetryczne względem osi $X$ .

Rozwiązanie:

Wiadomo, że proste o równaniach w postaci kierunkowej są symetryczne względem osi $X$ , gdy ich współczynniki $a$ są liczbami przeciwnymi i współczynniki $b$ są liczbami przeciwnymi.

Zatem rozwiązujemy równanie:

$m^{2} = - (m - 1)$ .

Równanie przekształcamy do postaci $m^{2} + m - 1 = 0$ .

Rozwiązaniami tego równania są liczby $m_{1} = \frac{- 1 - \sqrt{5}}{2}$ oraz $m_{2} = \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2}$ , zatem proste są symetryczne względem osi $X$ , gdy wartość $m$ jest równa jednej z otrzymanych liczb.

Przykład 4

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametrów $p$ i $q$ proste o równaniach $y = p x + q$ oraz $y = p^{2} x - q^{2}$ są symetryczne względem osi $X$ .

Rozwiązanie:

Proste o podanych równaniach są symetryczne względem osi $X$ , gdy zachodzą równocześnie warunki:

$p = - p^{2}$ oraz $q = q^{2}$ .

Równania możemy zapisać w postaciach: $p + p^{2} = 0$ oraz $q - q^{2} = 0$ .

Rozwiązaniami tych równań są liczby $p \in \{0, - 1\}$ oraz $q \in \{0, 1\}$ .

Dla otrzymanych wartości parametrów $p$ i $q$ , proste są symetryczne względem osi $X$ .

Słownik

równanie prostej w postaci ogólnej

równanie postaci $A x + B y + C = 0$ , gdzie $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe $0$

równanie prostej w postaci kierunkowej

równanie postaci $y = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ oraz $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej

punkty symetryczne względem osi X

punkty o współrzędnych $P = (x, y)$ i $P' = (x, - y)$

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik