Przeczytaj

Już wiesz

Funkcją wykładniczą nazywamy funkcję określoną wzorem $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x \in ℝ$ .

symetria wykresów funkcji wykładniczych względem osi

Y

Twierdzenie: symetria wykresów funkcji wykładniczych względem osi

Y

Wykresy funkcji określonych wzorami $f (x) = a^{x}$ oraz $g (x) = a^{- x}$ są symetryczne względem osi $Y$ układu współrzędnych.

Zauważmy, że $g (x) = {(\frac{1}{a})}^{x} = a^{- x} = f (- x)$ .

Pary funkcji zapisanych wzorami $f (x) = a^{x}$ oraz $g (x) = {(\frac{1}{a})}^{x}$ mają wykresy symetryczne względem osi $Y$ .

Naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych wykresy funkcji określonych wzorami $f (x) = 2^{x}$ oraz $g (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$ .

R1d2fFfHGRz3W

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X od minus czterech do czterech oraz z pionową osią Y od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie zaznaczono wykresy funkcji f oraz g. Funkcja f jest funkcją wykładniczą o podstawie 2. Jest to funkcja rosnąca. Funkcja g jest również funkcją wykładniczą, jej podstawa wynosi 12. Jest to funkcja malejąca, a jej wykres jest symetryczny do wykresu funkcji f względem osi Y. Dla obu funkcji asymptotą poziomą jest oś X. Oba wykresy przecinają się w charakterystycznym dla funkcji wykładniczej w punkcie o współrzędnych 0,1.

Z powyższych wykresów oraz własności funkcji wykładniczejfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczej możemy stwierdzić, że dla funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ oraz $g (x) = f (- x)$ zachodzą własności:

dziedziną obu funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych,
zbiorem wartości obu funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
każda z funkcji nie ma miejsc zerowych,
każda z funkcji dla dwóch dowolnych argumentów przyjmuje różne wartości, zatem funkcje są różnowartościowe,
dla $a \in (1, \infty)$ funkcja $f (x)$ jest rosnąca, zaś funkcja $g (x)$ jest malejąca,
dla $a \in (0, 1)$ funkcja $f (x)$ jest malejąca, zaś funkcja $g (x)$ jest rosnąca.

Określimy własności funkcji $g (x) = f (- x)$ przekształcenie wykresu funkcji $f (- x)$ funkcji $g (x) = f (- x)$ , gdy dana jest funkcja $f (x)$ .

Przykład 1

Wyznaczymy wzór oraz własności funkcji z wykresu określonej wzorem $g (x) = f (- x)$ , gdy funkcja $f$ zadana jest wzorem $f (x) = {(\sqrt{3})}^{x}$ .

Funkcja $g$ zadana jest wzorem

$g (x) = f (- x) = {(\sqrt{3})}^{- x} = {(\frac{\sqrt{3}}{3})}^{x}$ .

Wykres funkcji $g (x)$ przedstawia się następująco:

RgCq04HwXIqCx

Z wykresu możemy odczytać, że:

funkcja jest malejąca,
jej dziedziną jest zbiór liczb rzeczywistych, a zbiorem wartości jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich,
dla argumentów mniejszych od $0$ funkcja przyjmuje wartości większe od $1$ ,
dla argumentów większych od $0$ funkcja przyjmuje wartości należące do przedziału $(0, 1)$ .

Wyznaczymy wartości funkcji $g (x) = f (- x)$ dla zadanych argumentów, gdy funkcja $f (x)$ jest funkcją wykładniczą.

Przykład 2

Uporządkujemy rosnąco liczby $g (- 1)$ , $g (3)$ , $g (\frac{1}{2})$ oraz $g (- 2)$ , jeżeli $g (x) = f (- x)$ oraz $f (x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{x}$ .

Ponieważ $g (x) = f (- x)$ , zatem:

$g (x) = f (- x) = {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{- x} = {(\sqrt{2})}^{x}$ .

Funkcja $g$ jest rosnąca, bo $a = \sqrt{2} > 1$ .

Z faktu, że $g$ jest funkcją rosnącą mamy zależność:

$g (- 2) < g (- 1) < g (\frac{1}{2}) < g (3)$ .

Mając dane współrzędne punktu, który należy do wykresu funkcji wykładniczej $f (x)$ , możemy wyznaczyć wzór funkcji $g (x) = f (- x)$ .

Przykład 3

Wiadomo, że do wykresu funkcji określonej wzorem $f (x) = a^{x}$ należy punkt o współrzędnych $(2, \frac{4}{9})$ .

Wyznaczymy wzór funkcji $g (x) = f (- x)$ .

Ponieważ wykresy podanych funkcji są symetryczne względem osi $Y$ układu współrzędnych, zatem do wykresu funkcji $g$ należy punkt o współrzędnych $(- 2, \frac{4}{9})$ .

Niech $g (x) = b^{x}$ , gdzie $b > 0$ oraz $b \neq 1$ .

Po podstawieniu współrzędnych punktu do wzoru funkcji $g$ otrzymujemy równanie

$b^{- 2} = \frac{4}{9}$

Zatem wartość $b$ wynosi $b = \frac{3}{2}$ .

Funkcja $g$ zadana jest wzorem $g (x) = {(\frac{3}{2})}^{x}$ .

Sprawdzimy, czy funkcje wykładnicze, których wykresy są symetryczne względem osi rzędnych układu współrzędnych, mogą przyjmować tę samą wartość.

Przykład 4

Obliczymy, dla jakiego argumentu funkcje określone wzorami $f (x) = a^{x}$ i $g (x) = a^{- x}$ przyjmują tę samą wartość.

W tym celu rozwiążemy równanie:

$a^{x} = a^{- x}$ .

Jeżeli obie strony równania pomnożymy przez $a^{x}$ , to otrzymamy równanie:

$a^{2 x} = 1$ .

Równanie możemy sprowadzić do postaci

$a^{2 x} = a^{0}$ .

Wobec faktu, że funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, otrzymujemy równość:

$2 x = 0$ , zatem $x = 0$ .

Słownik

funkcja wykładnicza

funkcja postaci $f (x) = a^{x}$ , gdzie $a \in (0, 1) \cup (1, \infty)$ oraz $x \in ℝ$

przekształcenie wykresu funkcji

f (- x)

przekształcenie wykresu funkcji

f (- x)

odbicie symetryczne wykresu funkcji $f (x)$ względem osi $Y$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik