Obliczymy, ile jest sześciocyfrowych liczb naturalnychliczba naturalnaliczb naturalnych, których zapis dziesiętny spełnia jednocześnie dwa następujące warunki:

• na pierwszym i na drugim miejscu występują cyfry parzyste,

• na piątym i na szóstym miejscu występują cyfry podzielne przez $3$.

Zauważmy, że liczbę sześciocyfrową

$n=a\cdot {10}^5+b\cdot {10}^4+c\cdot {10}^3+d\cdot {10}^2+e\cdot {10}^1+f\cdot {10}^0$

można utożsamić z sześcioelementowym ciągiemciągciągiem $\left(a,b,c,d,e,f\right)$, gdzie współczynniki $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ to kolejne cyfry zapisu dziesiętnego liczby $n$.

Liczba sześciocyfrowa, która spełnia warunki zadania, ma następujące ograniczenia dla swoich cyfr:

• cyfra $a$ jest różna od zera i parzysta, a więc $a\in \left\{2,4,6,8\right\}$,

• cyfra $b$ jest parzysta, zatem $b\in \left\{0,2,4,6,8\right\}$,

• cyfry $e$ i $f$ są podzielne przez $3$, skąd $e$, $f\in \left\{0,3,6,9\right\}$,

• cyfry $c$ oraz $d$ mogą przyjmować dowolną z dziesięciu dostępnych wartości $c$, $d\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$.

Korzystając z reguły mnożeniareguła mnożeniareguły mnożenia, stwierdzamy, że dla takich $a$, $b$, $c$, $d$, $e$, $f$ liczba sześciocyfrowych ciągów $\left(a,b,c,d,e,f\right)$ jest równa $4·5·10·10·4·4=\mathrm{32\; 000}$.

Wobec tego sześciocyfrowych liczb naturalnychliczba naturalnaliczb naturalnych spełniających warunki zadania jest również $32 000$.

Obliczymy, ile jest pięciocyfrowych liczb naturalnychliczba naturalnaliczb naturalnych podzielnych przez $25$, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są mniejsze od $7$.

Rozumując podobnie jak w poprzednim przykładzie stwierdzamy, że każdej liczbie pięciocyfrowej

$n=a\cdot {10}^4+b\cdot {10}^3+c\cdot {10}^2+d\cdot {10}^1+e\cdot {10}^0$

można wzajemnie jednoznacznie przypisać pięcioelementowy ciągciągciąg $\left(a,b,c,d,e,f\right)$ jej kolejnych cyfr.

Ponadto liczba naturalna jest podzielna przez $25$, kiedy jej dwie ostatnie cyfry w zapisie dziesiętnym tworzą liczbę podzielną przez $25$.

Zatem taka liczba pięciocyfrowa spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a\in \left\{1,2,3,4,5,6\right\}$,

$b$, $c\in \left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}$

oraz gdy ciągciągciąg $\left(d, e\right)$ dwóch ostatnich cyfr jest jednym z następujących trzech:

$\left(0,0\right)$, $\left(2,5\right)$, $\left(5,0\right)$.

Na podstawie reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że odpowiadających jej ciągówciągciągów pięciocyfrowych jest  $6\cdot 7\cdot 7\cdot 3=882$. Oznacza to, że są $\mathrm{882}$ liczby spełniające warunki zadania.

Obliczymy, ile jest wszystkich ośmiocyfrowych liczb naturalnychliczba naturalnaliczb naturalnych, które jednocześnie spełniają poniższe trzy warunki:

• cyfra jedności jest o $4$ mniejsza od cyfry dziesiątek,

• cyfra setek jest o $3$ większa od cyfry tysięcy,

• cyfry dziesiątek tysięcy i setek tysięcy są równe.

Każdej liczbie ośmiocyfrowej

$n=a·{10}^7+b·{10}^6+c·{10}^5+d·{10}^4+e·{10}^3+f·{10}^2+g·{10}^1+h·{10}^0$

można wzajemnie jednoznacznie przypisać ośmioelementowy ciągciągciąg $\left(a,b,c,d,e,f,g,h\right)$ jej kolejnych cyfr.

Z treści zadania wynika, że: $c=d$, $e=f-3$, $g=h+4$.

Zatem taka liczba ośmiocyfrowa spełnia warunki zadania wtedy i tylko wtedy, gdy:

$a\in \left\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$,

$b\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$,

$c\in \left\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\right\}$ oraz $d=c$,

$e\in \left\{0,1,2,3,4,5,6\right\}$ oraz $f=e+3$,

$h\in \left\{0,1,2,3,4,5\right\}$ oraz $g=h+4$.

Zauważmy, że:

• dla każdej z możliwych wartości $c$ istnieje dokładnie jedna odpowiadająca jej wartość $d$,

• dla każdej z możliwych wartości $e$ istnieje dokładnie jedna odpowiadająca jej wartość $f$,

• dla każdej z możliwych wartości $h$ istnieje dokładnie jedna odpowiadająca jej wartość $g$.

Na podstawie reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia stwierdzamy, że takich liczb ośmiocyfrowych jest $9\cdot 10\cdot \left(10\cdot 1\right)\cdot \left(7\cdot 1\right)\cdot \left(6\cdot 1\right)=\mathrm{37\; 800}$.

Obliczymy, ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych większych od $2403$, których wszystkie cyfry są parzyste.

Każdej liczbie czterocyfrowej: $n=a\cdot {10}^3+b\cdot {10}^2+c\cdot {10}^1+d\cdot {10}^0$ można wzajemnie jednoznacznie przypisać czteroelementowy ciągciągciąg $\left(a,b,c,d\right)$ jej kolejnych cyfr. Z warunków zadania wynika, że $a\ge 2$.

Rozpatrzmy dwa rozłączne przypadki:

1. $a=2$,

2. $a>2$.

Ad 1 W przypadku pierwszym mamy kolejne rozłączne przypadki:

Ad 1.1 $b=4$ i $c=0$; wtedy $d\in \left\{4,6,8\right\}$,

Ad 1.2 $b=4$ i $c\in \left\{2,4,6,8\right\}$; wtedy $d\in \left\{0,2,4,6,8\right\}$,

Ad 1.3 $b\in \left\{6,8\right\}$; wtedy $c$, $d\in \left\{0,2,4,6,8\right\}$.

Ad 2 Natomiast w przypadku drugim liczby $a$, $b$, $c$, $d$ spełniają warunki:

$a\in \left\{4,6,8\right\}$,

$b$, $c$, $d\in \left\{0,2,4,6,8\right\}$.

Korzystając z reguły mnożeniaReguła mnożeniareguły mnożenia, obliczamy, ile jest ciągów $\left(a,b,c,d\right)$ spełniających warunki zadania w każdym z powyższych przypadków:

Ad 1.1 $1\cdot 1\cdot 1\cdot 3=3$,

Ad 1.2 $1\cdot 1\cdot 4\cdot 5=20$,

Ad 1.3 $1\cdot 2\cdot 5\cdot 5=50$,

Ad 2 $3\cdot 5\cdot 5\cdot 5=375$.

Korzystając z reguły dodawaniareguła dodawaniareguły dodawania, obliczamy, ile jest wszystkich liczb spełniających warunki zadania:

$3+20+50+375=448$.

funkcja, której dziedziną jest zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych lub pewien jego podzbiór, a wartościami są liczby rzeczywiste

dodatnia liczba całkowita

liczba wszystkich możliwych wyników doświadczenia polegającego na wykonaniu po kolei $n$ czynności, z których pierwsza może zakończyć się na jeden z $k_1$ sposobów, druga – na jeden z $k_2$ sposobów, trzecia – na jeden z $k_3$ sposobów i tak dalej do $n$-tej czynności, która może zakończyć się na jeden z $k_n$ sposobów, jest równa

$k_1·k_2·\dots ·k_n$

jeżeli zbiory $A_1,A_2,\dots ,A_n$ są parami rozłączne, to liczba elementów zbioru $A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n$ jest równa sumie liczb elementów każdego ze zbiorów $A_1,A_2,\dots ,A_n$:

$\left|A_1\cup A_2\cup \dots \cup A_n\right|=\left|A_1\right|+\left|A_2\right|+\dots \left|A_n\right|$