Przeczytaj

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka

Zajmiemy się wyznaczaniem dziedziny wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka, ale zaczniemy od przypomnienia, że określając dziedzinę wyrażenia algebraicznego należy podać dla wszystkich zmiennych występujących w wyrażeniu warunki, przy których spełnieniu wyrażenie przyjmuje jakąś wartość; w szczególności:

mianowniki ułamków i liczby przez które dzielimy muszą być różne od zera;
liczby podpierwiastkowe pierwiastków parzystego stopnia nie mogę być liczbami ujemnymi;
podstawa logarytmu i liczba logarytmowana muszą być dodatnie, ponadto podstawa logarytmu musi być różna od $1$ ;
zero nie może być podstawą potęgi o wykładniku $0$ .

Wyznaczając dziedzinę wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka należy pamiętać, że:

jeżeli w wyrażeniu algebraicznym występuje tylko jedna niewiadoma, określając jego dziedzinę wystarczy podać podzbiór zbioru liczb rzeczywistych zawierający wszystkie liczby, po których wstawieniu w miejsce niewiadomej będzie możliwe obliczenie wartości wyrażenia. Czasem zamiast podawać zbiór liczb spełniających powyższy warunek prościej jest zapisać, które liczby do dziedziny nie należą;
jeżeli w wyrażeniu algebraicznym jest więcej niewiadomych, należy określić warunki dla wszystkich niewiadomych. Czasem warunki te będą zredagowane podobnie, jak w przypadku jednej niewiadomej, mogą też mieć formę pewnych zależności między różnymi zmiennymi.

W pierwszych czterech przykładach określimy dziedzinę ułamków algebraicznych z jedną zmienną, pokazując za każdym razem co najmniej dwa sposoby zapisu warunków określających dziedzinę.

Przykład 1

Podamy dziedzinę wyrażeniadziedzina wyrażenia algebraicznegodziedzinę wyrażenia $\frac{1}{x - 2}$ .

Rozwiązanie

Jedyny warunek na istnienie tego ułamka wynika z niemożności podzielenia przez $0$ .

Zatem $x \in ℝ ∖ \{2\}$ .

Można też ten warunek zapisać trochę inaczej: $x \neq 2$ .

Przykład 2

Podamy dziedzinę wyrażenia $\frac{x}{x^{3} - 3 x^{2} - x + 3}$ .

Rozwiązanie

Ułamek ten jest określony, gdy jego mianownik przyjmuje wartość różną od $0$ .

Wyznaczmy rozwiązania równania $x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0$
$x^{2} (x - 3) - (x - 3) = 0$
$(x - 3) (x^{2} - 1) = 0$
$(x - 3) (x - 1) (x + 1) = 0$
$x = 3$ lub $x = 1$ lub $x = (- 1)$ .

Zatem $x \in ℝ ∖ \{- 1, 1, 3\}$

Możemy to zapisać inaczej: $x \in (- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$ .

Możemy też podać, że $x \neq (- 1)$ i $x \neq 1$ i $x \neq 3$ .

Przykład 3

Podamy dziedzinę wyrażenia $\frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + 2}{x + 3}}$ .

Rozwiązanie

Ułamek ten będzie określony, gdy mianowniki ułamków $\frac{\frac{x}{x + 1}}{\frac{x + 2}{x + 3}}$ , $\frac{x}{x + 1}$ i $\frac{x + 2}{x + 3}$ będą różne od $0$ .

Oznacza to, że $\{\begin{cases} x + 1 \neq 0 \\ x + 2 \neq 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases}$ .

Możemy zatem stwierdzić, że $\{\begin{cases} x \neq (- 1) \\ x \neq (- 2) \\ x \neq (- 3) \end{cases}$ .

Zapisując inaczej: $x \in ℝ ∖ \{- 3, - 2, - 1\}$ .

Przykład 4

Podamy dziedzinę wyrażenia $\frac{\sqrt{x + 3}}{x^{2} + 3 x - 4}$ .

Rozwiązanie

Sprowadźmy mianownik do postaci iloczynowej:
$\frac{\sqrt{x + 3}}{x^{2} + 3 x - 4} = \frac{\sqrt{x + 3}}{(x - 1) (x + 4)}$ .

Ułamek jest określony, gdy mianownik jest liczbą różną od zera, a pod pierwiastkiem mamy liczbę nieujemną:
$\{\begin{cases} (x - 1) (x + 4) \neq 0 \\ x + 3 ⩾ 0 \end{cases}$ .

Zatem $\{\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq (- 4) \\ x ⩾ (- 3) \end{cases}$ .

Podsumowując: $\{\begin{cases} x ⩾ (- 3) \\ x \neq 1 \end{cases}$ .

Możemy zapisać, że $x \in ⟨- 3, 1) \cup (1, \infty)$
lub równoważnie $x \in ⟨- 3, \infty) ∖ \{1\}$ .

W kolejnych przykładach zajmiemy się wyznaczeniem i zapisaniem dziedziny wyrażenia algebraicznego w formie ułamka z więcej niż jedną niewiadomą.

Przykład 5

Określimy dziedzinę wyrażenia $\frac{x^{2} y}{y^{2} z}$ .

Rozwiązanie

Wyrażenie jest określone, gdy mianownik przyjmuje wartości różne od zera.

Zatem $x \in ℝ$ , $y \in ℝ ∖ \{0\}$ , $z \in ℝ ∖ \{0\}$ .

Przykład 6

Określimy dziedzinę wyrażenia $\frac{x y - 5 z}{x z + y z + 4 x + 4 y}$ .

Rozwiązanie

Musimy ustalić, kiedy mianownik wyrażenia przyjmuje wartości różne od $0$ .
Zauważmy, że mianownik łatwo zapisać w postaci iloczynowej:
$x z + y z + 4 x + 4 y = z (x + y) + 4 (x + y) = (x + y) (z + 4)$

Zatem $\{\begin{cases} x + y \neq 0 \\ z + 4 \neq 0 \end{cases}$ .

Ułamek jest zatem określony, gdy spełnione są jednocześnie następujące warunki:
$\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y \in ℝ \\ z \in ℝ ∖ \{- 4\} \\ x \neq (- y) \end{cases}$ .

Przykład 7

Określimy dziedzinę wyrażenia $\frac{1}{a^{2} - 2 a b + b^{2}}$ .

Rozwiązanie

Stosując wzór skróconego mnożenia możemy zapisać
$\frac{1}{a^{2} - 2 a b + b^{2}} = \frac{1}{{(a - b)}^{2}}$ .

Zatem $\{\begin{cases} a \in ℝ \\ b \in ℝ \\ a \neq b \end{cases}$ .

Przykład 8

Określimy dziedzinę wyrażenia $\frac{1}{a^{2} - 2 a b + 3 b^{2}}$ .

Rozwiązanie

Przekształćmy mianownik stosując wzór skróconego mnożenia:
$\frac{1}{a^{2} - 2 a b + 3 b^{2}} = \frac{1}{{(a - b)}^{2} + 2 b^{2}}$ .

Wyrażenia ${(a - b)}^{2}$ oraz $2 b^{2}$ są zawsze nieujemne - więc ich suma również.
Wyrażenie w mianowniku może przyjąć wartość $0$ tylko, gdy
$\{\begin{cases} a - b = 0 \\ b = 0 \end{cases}$ ,
czyli tylko dla $a = b = 0$ .

Ułamek $\frac{1}{a^{2} - 2 a b + 3 b^{2}}$ jest więc określony, gdy
$\{\begin{cases} a \in ℝ \\ b \in ℝ \\ a \neq 0 lub b \neq 0 \end{cases}$ .

Równoważnie można to zredagować np. tak:
$\{\begin{cases} a \in ℝ \\ b \in ℝ \\ a^{2} + b^{2} \neq 0 \end{cases}$ .

Słownik

dziedzina wyrażenia algebraicznego

wszystkie liczby rzeczywiste, dla których to wyrażenie ma sens liczbowy

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Wyznaczanie dziedziny wyrażeń algebraicznych zapisanych w formie ułamka

Słownik