Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$, liczby $x$, $y$ są liczbami dodatnimi, to:

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$, liczby $x$, $y$ są liczbami dodatnimi, to:

Obliczymy przybliżoną wartość liczby $x=5\sqrt[5]{\mathrm{1,469}}$. Wynik podamy z dokładnością do $\mathrm{0,01}$.

Logarytmujemy obie strony wyrażenia (zauważmy, że $x>0$).

$\log x=\log \left(5\sqrt[5]{1,469}\right)$

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynutwierdzenie o logarytmie iloczynulogarytm iloczynu i logarytm potęgi.

$\log x=\log 5+\frac{1}{5}·\log 1,469$

Odczytujemy z tablic logarytmicznych (lub korzystamy z kalkulatora czy komputera) przybliżone wartości odpowiednich logarytmów.

$\log 5\approx 0,6990$

$\log 1,469\approx 0,1670$

Podstawiamy uzyskane liczby do zapisanej równości.

$\log x\approx 0,6990+\frac{1}{5}·0,1670=0,6990+0,0334=0,7324$

$\log x\approx 0,7324$

Ponownie sięgamy do tablic logarytmicznych – teraz szukamy przybliżonej wartości $x$.

$x\approx \mathrm{5,40}$

Obliczymy wartość wyrażenia $W=\sqrt{{\mathrm{3,289}}^2-{\mathrm{2,451}}^2}$ z dokładnością do $0,001$.

Liczbę podpierwiastkową zapisujemy w postaci iloczynu, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia.

$W=\sqrt{\left(\mathrm{3,289}-\mathrm{2,451}\right)\left(\mathrm{3,289}+\mathrm{2,451}\right)}=\sqrt{\mathrm{0,838}·\mathrm{5,74}}$

Logarytmujemy obie strony wyrażenia.

$\log W=\log \left(\sqrt{0,838·5,74}\right)$

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu i logarytm potęgi.

$\log W=\frac{1}{2}·\left(\log 0,838+\log 5,74\right)$

Odczytujemy z tablic logarytmicznych (lub korzystamy z kalkulatora czy komputera) przybliżone wartości odpowiednich logarytmów.

$\log 0,838\approx -0,0768$

$\log 5,74\approx 0,7589$

Podstawiamy uzyskane liczby do zapisanej równości.

$\log W\approx \frac{1}{2}·\left(-0,0768+0,7589\right)=0,34105$

$\log W\approx 0,34105$

Ponownie sięgamy do tablic logarytmicznych – teraz szukamy przybliżonej wartości $W$.

$W\approx 2,1931\approx 2,193$

Dana jest liczba dodatnia $x$ spełniająca warunek: $x>1$ i $600={246}^{\frac{1}{x-1}}$.

Wykażemy, że liczba $x$ jest mniejsza od $2$.

Podobnie, jak w poprzednich przykładach logarytmujemy obie strony rozważanej równości.

$\log 600=\log {246}^{\frac{1}{X-1}}$

Korzystamy ze wzoru na logarytm potęgi.

$\log 600=\left(\frac{1}{x-1}\right)·\left(\log 246\right)$

Mnożymy obie strony równości przez $x-1$.

$\left(x-1\right)·\log 600=\log 246$

Wykonujemy wskazane działania.

$x\log 600-\log 600=\log 246$

$x\log 600=\log 246+\log 600$

Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu.

$x\log 600=\log 147600$

Odczytujemy z tablic logarytmicznych (lub korzystamy z kalkulatora czy komputera) przybliżone wartości odpowiednich logarytmów.

$x\approx \frac{\mathrm{5,1691}}{\mathrm{2,7782}}$

$x\approx \mathrm{1,86}<2$

Poznane wzory wykorzystamy do rozwiązywania prostych równań. Zastosujemy w tym celu analizę starożytnych – złożymy, że dane równanie ma rozwiązanie i tym rozwiązaniem jest liczba $x$. Następnie przekształcając równanie równoważnie znajdziemy liczbę $x$. Na koniec sprawdzimy, czy znaleziona liczba jest rozwiązaniem równania.

Rozwiążemy równanie ${\log }_5\left(x-2\sqrt{2}\right)+{\log }_5\left(x+2\sqrt{2}\right)=0$.

Zakładamy, że istnieje liczba $x$ spełniająca to równanie.

Przekształcamy równanie, korzystając ze wzoru na logarytm iloczynu i ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę kwadratów.

${\log }_5\left(x-2\sqrt{2}\right)\left(x+2\sqrt{2}\right)=0$

${\log }_5\left(x^2-8\right)=0$

Z definicji logarytmu wynika, że $x^2-8=5^0$.

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

$x^2-8=1$

$x^2-9=0$

$x=-3$ lub $x=3$

Sprawdzamy, czy liczba $\left(-3\right)$ jest rozwiązaniem równania.

${\log }_5\left(-3-2\sqrt{2}\right)+{\log }_5\left(-3+2\sqrt{2}\right)=0$

Liczba $\left(-3\right)$ nie spełnia równania, bo $-3-2\sqrt{2}<0$, zatem ${\log }_5\left(-3-2\sqrt{2}\right)$ nie istnieje.

Sprawdzamy, czy liczba $3$ jest rozwiązaniem równania.

${\log }_5\left(3-2\sqrt{2}\right)+{\log }_5\left(3+2\sqrt{2}\right)=0$

${\log }_5\left(9-8\right)={\log }_{5}1=0$

Odpowiedź:

Rozwiązaniem równania jest liczba $3$.

Znajdziemy wszystkie liczby $x$ spełniające warunek $\log \sqrt{x-1}-\log x=\log \frac{2}{5}$.

Rozwiązanie zadania w istocie prowadzi do rozwiązania równania logarytmicznego. Określimy najpierw dziedzinę tego równania.

$x-1\ge 0$, $x>0$, $\sqrt{x-1}>0$, stąd $D=\left(1, \infty \right)$.

Przekształcamy równanie do najprostszej postaci, korzystając z poznanych wzorów.

$\log \sqrt{x-1}=\log x+\log \frac{2}{5}$

$\log \sqrt{x-1}=\log \frac{2}{5}x$

Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej wynika, że liczby logarytmowane muszą być równe.

$\sqrt{x-1}=\frac{2}{5}x$

Obie strony uzyskanego równania są dodatnie, zatem możemy podnieść je do kwadratu.

$\left|x-1\right|=\frac{4}{25}{x}^2$

Ponieważ $x>1$, otrzymujemy:

$x-1=\frac{4}{25}{x}^2$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$\frac{4}{25}{x}^2-x+1=0 |·25$

$4x^2-25x+25=0$

$∆=625-400=225>0$

$x=\frac{25-15}{8}=\frac{5}{4}$ lub $x=\frac{25+15}{8}=5$

Obie uzyskane liczby są większe od $1$ – należą więc do dziedziny równania.

Odpowiedź:

Szukane liczby to $\frac{5}{4}$ i $5$.

jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$, liczby $x$, $y$ są liczbami dodatnimi, to:

jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$, liczby $x$, $y$ są liczbami dodatnimi, to: