Przeczytaj

Do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę sinusów wykorzystamy poznane wzory na sinus sumy oraz sinus różnicy. Przypomnijmy je zatem.

wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

Twierdzenie: wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

\sin (α + β) = \sin α \cos β + \sin β \cos α

\sin (α - β) = \sin α \cos β - \sin β \cos α

Teraz udowodnimy twierdzenie o sumie sinusów i różnicy sinusów.

wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów

Twierdzenie: wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów

Dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}

\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}

Dowód

Zauważmy, że prawdziwe są następujące zależności

$β = \frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}$ , $α = \frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}$ .

1. Korzystając z powyższych zależności, możemy sumę sinusów zapisać następująco

$\sin α + \sin β = \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2})$ .

Korzystając ze wzorów na sinus sumy i różnicy argumentówwzorów na sinus sumy i różnicy argumentów otrzymujemy

$\sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) + \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) =$

$= (\sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} + \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}) +$

$+ (\sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} - \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}) =$

$= 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$ ,

co kończy dowód wzoru $\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$ .

2. Korzystając z powyższych zależności, dla argumentów $α$ i $β$ możemy różnicę sinusów zapisać następująco

$\sin α - \sin β = \sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2})$ .

Korzystając ze wzorów na sinus sumy i różnicy argumentówwzorów na sinus sumy i różnicy argumentów otrzymujemy

$\sin (\frac{α + β}{2} + \frac{α - β}{2}) - \sin (\frac{α + β}{2} - \frac{α - β}{2}) =$

$= (\sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} + \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}) -$

$+ (\sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2} - \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}) =$

$2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}$ ,

co kończy dowód wzoru $\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}$ .

Przykład 1

Zmienimy wyrażenie $\sin α + \sin 2 α + \sin 3 α$ na iloczyn trzech funkcji trygonometrycznych.

Rozwiązanie

Korzystając ze wzoru na sumę sinusówwzoru na sumę sinusów sumujemy $\sin α$ i $\sin 3 α$

$\sin α + \sin 2 α + \sin 3 α = 2 \sin 2 α \cdot \cos α + \sin 2 α =$

$= \sin 2 α (2 \cos α + 1) = \sin 2 α \cdot 2 (\cos α + \frac{1}{2})$ .

Zamienimy teraz $\cos α$ i $\frac{1}{2}$ na sinusy odpowiednich argumentów

$2 \sin 2 α \cdot [\sin (\frac{π}{2} - α) + \sin \frac{π}{6}]$

i zastosujemy ponownie wzór na sumę sinusówwzór na sumę sinusów

$4 \sin 2 α \cdot \sin (\frac{\frac{π}{2} - α + \frac{π}{6}}{2}) \cdot \cos (\frac{\frac{π}{2} - α - \frac{π}{6}}{2}) =$

$= 4 \sin 2 α \cdot \sin (\frac{π}{3} - \frac{α}{2}) \cdot \cos (\frac{π}{6} - \frac{α}{2})$ .

Przykład 2

Obliczymy wartość wyrażenia $\frac{5 [\cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{14}) - \sin \frac{π}{14}]}{\cos \frac{π}{7} \cdot \sin \frac{π}{14}}$ .

Rozwiązanie

Najpierw wykorzystamy wzory redukcyjne, a następnie wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów

$\frac{5 [\cos (\frac{π}{2} - \frac{3 π}{14}) - \sin \frac{π}{14}]}{\cos \frac{π}{7} \cdot \sin \frac{π}{14}} = \frac{5 (\sin \frac{3 π}{14} - \sin \frac{π}{14})}{\cos \frac{π}{7} \cdot \sin \frac{π}{14}} =$

$= \frac{5 \cdot 2 \sin \frac{π}{14} \cdot \cos \frac{π}{7}}{\cos \frac{π}{7} \cdot \sin \frac{π}{14}} = 10$ .

Przykład 3

Obliczymy $\sin (x + \frac{π}{3}) - \sin (x - \frac{π}{3})$ , jeżeli $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ .

Rozwiązanie

Wykorzystajmy wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów

$\sin (x + \frac{π}{3}) - \sin (x - \frac{π}{3}) =$

$2 \sin \frac{(x + \frac{π}{3}) - (x - \frac{π}{3})}{2} \cdot \cos \frac{(x + \frac{π}{3} + x - \frac{π}{3})}{2} =$

$= 2 \sin \frac{π}{3} \cdot \cos x$ .

Ponieważ $\cos x = \frac{\sqrt{3}}{4}$ , zatem $2 \sin \frac{π}{3} \cdot \cos x = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} = \frac{3}{4}$ .

Przykład 4

Obliczymy $tg x$ , jeżeli wiadomo, że $\sin (x + 30 °) + \sin (x - 30 °) = 2 \sqrt{3} \cos x$ .

Rozwiązanie

Wykorzystując wzór na różnicę sinusówwzór na różnicę sinusów przekształćmy równanie dane w zadaniu

$\sin (x + 30 °) + \sin (x - 30 °) = 2 \sqrt{3} \cos x$

do postaci

$2 \sin \frac{x + 30 ° + x - 30 °}{2} \cdot \cos \frac{x + 30 ° - x + 30 °}{2} = 2 \sqrt{3} \cos x$ .

Zapiszmy dalej $2 \sin x \cos 30 ° = 2 \sqrt{3} \cos x$ .

Stąd otrzymujemy zależność między sinusem i cosinusem tego samego argumentu $\sqrt{3} \sin x = 2 \sqrt{3} \cos x$ .

Korzystając z definicji funkcji tangens otrzymujemy odpowiedź $\frac{\sin x}{\cos x} = tg x = 2$ .

Słownik

wzór na sinus sumy argumentów, wzór na sinus różnicy argumentów

dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

$\sin (α + β) = \sin α \cos β + \sin β \cos α$

$\sin (α - β) = \sin α \cos β - \sin β \cos α$

wzór na sumę sinusów, wzór na różnicę sinusów

dla dowolnych $α, β \in ℝ$ zachodzą następujące wzory

$\sin α + \sin β = 2 \sin \frac{α + β}{2} \cdot \cos \frac{α - β}{2}$

$\sin α - \sin β = 2 \sin \frac{α - β}{2} \cdot \cos \frac{α + β}{2}$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik