Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Na początkowym etapie edukacji matematycznej czasami pierwiastek (kwadratowy)pierwiastek kwadratowypierwiastek (kwadratowy) z liczby a definiuje się jako długość boku kwadratu o polu a.

R12xTeykXsSzp

Ta prosta i obrazowa definicja akcentuje fakt, że i liczba podpierwiastkowa i wynik pierwiastkowania są liczbami dodatnimi (wszak, pole i długość boku kwadratu są liczbami dodatnimi). Dodatkowo przyjmujemy, że pierwiastek z zera jest równy zeru.

Pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia)
Definicja: Pierwiastek kwadratowy (drugiego stopnia)

Formalna definicja pierwiastka kwadratowego (drugiego stopnia) jest następująca

a=b wtedy i tylko wtedy, gdy a=b2, dla a0, b0.

Zatem pierwiastkiem (kwadratowym, drugiego stopnia) z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, która podniesiona do kwadratu daje liczbę a.

Przykład 1

-9 nie jest liczbą rzeczywistą, bo -9 nie jest liczbą nieujemną.

4=2, bo 2022=4.

6481=89, bo 890892=6481.

11125=3625=65=115, bo 650652=3625.

1,21=1,1, bo 1,101,12=1,21.

Przykład 2

Wyrażenie x ma sens dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej x, czyli dla x0.

Wyrażenie x-1 ma sens dla każdej liczby rzeczywistej x spełniającej warunek x-10, czyli dla x1.

Wyrażenie x+1 ma sens dla każdej liczby rzeczywistej x spełniającej warunek x+10, czyli dla x-1.

Wyrażenie 1-x ma sens dla każdej liczby rzeczywistej x spełniającej warunek 1-x0, czyli dla x1.

Wyrażenie -x-1 ma sens dla każdej liczby rzeczywistej x spełniającej warunek -x-10, czyli dla x-1.

Zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie zawierające zmienną x ma sens liczbowy nazywamy dziedziną wyrażenia algebraicznegodziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziną wyrażenia algebraicznego. Możemy zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia x jest zbiór wszystkich liczb nieujemnych.

Przykład 3

Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez 0, wyrażenie 1x ma sens dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x, czyli dla x>0.

Wyrażenie 1x-1 ma sens dla każdej liczby rzeczywistej x spełniającej warunek x-1>0 (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru), czyli dla x>1.

Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy 0, wyrażenie 1x+1 ma sens dla każdej liczby rzeczywistej x spełniającej warunek x+1>0, czyli dla x>-1.

Wyrażenie 11-x ma sens dla każdej liczby rzeczywistej x spełniającej warunek 1-x>0, czyli dla x<1.

Wyrażenie 1-x-1 ma sens dla każdej liczby rzeczywistej x spełniającej warunek -x-1>0, czyli dla x<-1.

Przykład 4

32=3

-32=9=3

52=5

-52=25=5

Przykład 5

Zwróć uwagę, że liczby π-22-π są liczbami przeciwnymi π-2=--π+2=-2-π.

Zatem π-22=π-2, bo π-2>0.

Zauważmy, że liczba 2-π jest ujemna, więc, aby obliczyć 2-π2, wykonamy przekształcenia

2-π2=--2+π2=-π-22=π-22=π-2.

Ważne!

Uważaj na wyrażenia postaci x2. Często popełnianym błędem jest uznawanie, że pierwiastek i kwadrat wzajemnie się znoszą (redukują) i rozważane wyrażenie jest równe x. Powyższe przykłady pokazują, że to nieprawda. W rzeczywistości rozważane wyrażenie jest równe wartości bezwzględnej z x, czyli x2=x dla dowolnej liczby rzeczywistej x. Natomiast x2=x, ale ta równość zachodzi tylko i wyłącznia dla x0.

Własności pierwiastkowania
Własność: Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych a, b zachodzą równości

ab=ab,
ab=ab, o ile b0.
Przykład 6

218=218=36=6

205=205=4=2

20=45=45=25

Przykład 7

Korzystając z własności pierwiastkowania usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

a) 22=2222=2222=2222=224=222=2

b) 23=2333=2333=2333=239=233

Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu a2+b2. Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu a2+b2. Rozważmy 32+42. Poprawne obliczenie wygląda następująco 32+42=9+16=25=5. Ponadto 32+42=3+4=7, co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości wyrażenia 32+42, czyli liczbie 5.

Przykład 8

Aby dodać pierwiastki 75+48, możemy postąpić następująco

75+48=253+163=53+43=93.

Słownik

pierwiastek kwadratowy
pierwiastek kwadratowy

pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby a nazywamy taką nieujemną liczbę b, której kwadrat jest równy a, czyli a=ba=b2, dla a0, b0

dziedzina wyrażenia algebraicznego
dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens