Przeczytaj
Na początkowym etapie edukacji matematycznej czasami pierwiastek (kwadratowy)pierwiastek (kwadratowy) z liczby definiuje się jako długość boku kwadratu o polu .
Ta prosta i obrazowa definicja akcentuje fakt, że i liczba podpierwiastkowa i wynik pierwiastkowania są liczbami dodatnimi (wszak, pole i długość boku kwadratu są liczbami dodatnimi). Dodatkowo przyjmujemy, że pierwiastek z zera jest równy zeru.
Formalna definicja pierwiastka kwadratowego (drugiego stopnia) jest następująca
Zatem pierwiastkiem (kwadratowym, drugiego stopnia) z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę , która podniesiona do kwadratu daje liczbę .
nie jest liczbą rzeczywistą, bo nie jest liczbą nieujemną.
, bo i .
, bo i .
, bo i .
, bo i .
Wyrażenie ma sens dla każdej nieujemnej liczby rzeczywistej , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie zawierające zmienną ma sens liczbowy nazywamy dziedziną wyrażenia algebraicznegodziedziną wyrażenia algebraicznego. Możemy zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia jest zbiór wszystkich liczb nieujemnych.
Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez , wyrażenie ma sens dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru), czyli dla .
Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy , wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Wyrażenie ma sens dla każdej liczby rzeczywistej spełniającej warunek , czyli dla .
Zwróć uwagę, że liczby i są liczbami przeciwnymi .
Zatem , bo .
Zauważmy, że liczba jest ujemna, więc, aby obliczyć , wykonamy przekształcenia
.
Uważaj na wyrażenia postaci . Często popełnianym błędem jest uznawanie, że pierwiastek i kwadrat wzajemnie się znoszą (redukują) i rozważane wyrażenie jest równe . Powyższe przykłady pokazują, że to nieprawda. W rzeczywistości rozważane wyrażenie jest równe wartości bezwzględnej z , czyli dla dowolnej liczby rzeczywistej . Natomiast , ale ta równość zachodzi tylko i wyłącznia dla .
Dla dowolnych nieujemnych liczb rzeczywistych , zachodzą równości
Korzystając z własności pierwiastkowania usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:
a)
b)
Zwróć uwagę na kolejność wykonywania działań w wyrażeniach typu . Pierwiastkowanie nie jest rozdzielne względem dodawania, więc powyższe wyrażenie nie jest równe wyrażeniu . Rozważmy . Poprawne obliczenie wygląda następująco . Ponadto , co oczywiście nie jest równe poprawnie obliczonej wartości wyrażenia , czyli liczbie .
Aby dodać pierwiastki , możemy postąpić następująco
.
Słownik
pierwiastkiem kwadratowym z nieujemnej liczby nazywamy taką nieujemną liczbę , której kwadrat jest równy , czyli , dla ,
zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens