Przeczytaj

Obserwacje wyników gier losowych doprowadziły do formułowania pierwszych stwierdzeń i wniosków dotyczących szans wygranej. Odpowiedzią na interesujące graczy zjawiska, była definicja prawdopodobieństwa (zwana dzisiaj klasyczną), sformułowana przez osiemnastowiecznego francuskiego matematyka, fizyka, astronoma i geodetę Pierra Simona de Laplace’a. Definicja ta jest o tyle wygodniejsza od aksjomatycznej definicji prawdopodobieństwa, iż daje praktyczną wskazówkę, jak wyznaczyć prawdopodobieństwo danego zdarzenia.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Definicja: Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych.

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A \subset Ω$ nazywamy liczbę:

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|}

Z klasycznej definicji prawdopodobieństwa wynika więc, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia $A \subset Ω$ jest równe ilorazowi liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu $A$ do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych należących do zbioru $Ω$ .

Definicja ta zakłada więc, że wszystkie zdarzenia elementarne wzajemnie się wykluczają, a ich wystąpienia są równie możliwe.

Podsumowując – w klasycznym schemacie obliczania prawdopodobieństwa zakłada się więc, że:

zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jest zbiorem skończonym,
wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

Korzystając z tych założeń (nie powtarzając ich za każdym razem) będziemy rozwiązywać wszystkie zadania w tym materiale.

Pokażemy teraz zastosowanie klasycznej definicji prawdopodobieństwaklasyczna definicja prawdopodobieństwaklasycznej definicji prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń, na przykładzie losowania kart do gry.

Przed rozwiązywaniem zadań, kilka przydatnych wiadomości.

Zwykle talia do gry zawiera $52$ karty w czterech kolorach: pik, kier, trefl, karo. W każdym z tych kolorów jest $13$ kart.

RKdXScgXNio9H

Ilustracja przedstawia kolory kart: pik, czyli czarne odwrócone serce z trójkątnym trzonkiem w podstawie, kier, czyli czerwone serce, trefl przypominający czarne drzewko oraz czerwone karo w kształcie podobnym do rombu, kórego boki są lekko wklęsłe.

Każdy z kolorów posiada dziewięć kart numerowanych od $2$ do $10$ oraz trzy figury: król, dama, walet oraz dodatkową kartę – as.

W pierwszych trzech przykładach losować będziemy tylko jedną kartę z talii.

Przykład 1

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to figura.

Zdarzeniu $F$ – wylosowana karta to figura, sprzyja $3 \cdot 4 = 12$ zdarzeń elementarnych (są trzy figury w każdym z czterech kolorów).

Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa $52$ (tyle jest kart w talii).

Korzystamy ze wzoru podanego w klasycznej definicji prawdopodobieństwaklasyczna definicja prawdopodobieństwaklasycznej definicji prawdopodobieństwa.

$P (F) = \frac{12}{52} = \frac{3}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to figura jest równe $\frac{3}{13}$ .

Przykład 2

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta nie jest ani treflem, ani damą.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu karty, która nie jest ani treflem, ani damą.

Jeśli karta nie ma być treflem, to może być pikiem, kierem, karo – $3 \cdot 13 = 39$ możliwości.

Jednak wśród tych kart są trzy damy. Musimy je wykluczyć.

Zatem:

$|A| = 39 - 3 = 36$

Możemy teraz obliczyć szukane prawdopodobieństwo.

$P (A) = \frac{36}{52} = \frac{9}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta nie jest ani kierem, ani damą jest równe $\frac{9}{13}$ .

Przykład 3

Z talii $52$ kart losujemy jedną. Obliczymy prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest kierem, karo lub dwójką.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu karty, która jest kierem, karo lub dwójką.

Wylosowana karta może być kierem ( $13$ możliwości) lub karo ( $13$ możliwości), może być też dwójką ( $4$ możliwości).

Wydaje się więc, że liczba zdarzeń sprzyjających wylosowaniu karty jest równa $13 + 13 + 4$ .

Jednak tak nie jest, bo są dwie dwójki, które w ten sposób liczone by były podwójnie – dwójka kier i dwójka karo.

Zatem:

$|A| = 13 + 13 + 4 - 2 = 28$

Stąd:

$P (A) = \frac{28}{52} = \frac{7}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta jest kierem, karo lub dwójką jest równe $\frac{7}{13}$ .

Teraz czas na trudniejsze przykłady.

Przykład 4

Z talii $52$ kart losujemy ze zwracaniem trzy karty. Obliczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy kolejno dwójką, trójkę i czwórkę.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu kolejno dwójki, trójki i czwórki.

Losujemy karty ze zwracaniem, więc za każdym razem losujemy jedną kartę z $52$ . Zgodnie z regułą mnożenia:

$|Ω| = 52 \cdot 52 \cdot 52 = 52^{3}$

W talii są cztery dwójki, cztery trójki i cztery czwórki, zatem, rozumując w podobny sposób, jak przy wyznaczaniu mocy zdarzeń elementarnych, otrzymujemy:

$|A| = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{3}$

Stąd:

$P (A) = \frac{4^{3}}{52^{3}} = {(\frac{1}{13})}^{3} = \frac{1}{2197}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowane karty to dwójka, trójka i czwórka jest równe $\frac{1}{2197}$ .

Przykład 5

Z talii $52$ kart wyciągamy dwie karty. Obliczymy jakie jest prawdopodobieństwo, że wylosujemy dwa asy.

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na wylosowaniu dwóch asów.

Losujemy dwie spośród $52$ kart.

Zatem:

$|Ω| = (\begin{matrix} 52 \\ 2 \end{matrix}) =$ $\frac{52!}{2! \cdot 50!} = \frac{51 \cdot 52}{2} = 1326$

Dwa asy losujemy spośród $4$ znajdujących się w talii.

Stąd:

$|A| =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{4!}{2! \cdot 2!} = \frac{3 \cdot 4}{2} = 6$

Obliczamy prawdopodobieństwo:

$P (A) = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo wylosowania dwóch asów jest równe $\frac{1}{221}$ .

Przykład 6

Potasowano talię kart i karty rozdano czterem graczom – każdemu po tyle samo. Obliczymy prawdopodobieństwo, że gracz z numerem $1$ otrzymał trzy króle.

Oznaczmy:
$K$ – zdarzenie polegające na otrzymaniu trzech króli.

Każdy z graczy otrzymał po $52 : 4 = 13$ kart.

Zatem:

$|Ω| =$ $(\begin{matrix} 52 \\ 13 \end{matrix})$

Gracz z numerem $1$ ma otrzymać trzy króle, więc powinien jeszcze otrzymać $13 - 3 = 10$ kart, które nie są królami i które są losowane spośród $52 - 4 = 48$ pozostałych kart.

Stąd:

$|K| =$ $(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 48 \\ 10 \end{matrix})$

Obliczamy prawdopodobieństwo:

$P (K) = \frac{(\begin{matrix} 4 \\ 3 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} 48 \\ 10 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 52 \\ 13 \end{matrix})} = \frac{858}{20825}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo otrzymania trzech króli przez gracza z numerem $1$ jest równe $\frac{858}{20825}$ .

Słownik

klasyczna definicja prawdopodobieństwa

niech $Ω$ będzie skończonym zbiorem wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych jednakowo prawdopodobnych; prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A \subset Ω$ nazywamy liczbę

P (A) = \frac{|A|}{|Ω|}

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik