Przeczytaj

Każde równanie trygonometryczne staramy się sprowadzić do równania postaci: $\sin x = a, \cos x = a, tg x = a$ . Zatem przypomnimy podstawowe twierdzenie o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych.

o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych

Twierdzenie: o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych

Jeżeli $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $\sin x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ lub $x = π - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $\cos x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ lub $x = - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $a \in ℝ$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $tg x = a$ , to każde rozwiązanie ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Zaprezentujemy teraz przykłady, pokazujące jak za pomocą wzorów na funkcje trygonometryczne sumy lub różnicy argumentów sprowadzić równanie do postaci: $\sin x = a$ lub $\cos x = a$ lub $tg x = a$ , a następnie w tej postaci je rozwiązać.

Przykład 1

Rozwiążemy równanie w zbiorze liczb rzeczywistych:

$\frac{tg (x + \frac{π}{4}) + tg \frac{x}{2}}{1 - tg (x + \frac{π}{4}) \cdot tg \frac{x}{2}} = \sqrt{3}$ .

Rozwiązanie:

Zapiszmy na początek założenia:

$1 - tg (x + \frac{π}{4}) \cdot tg \frac{x}{2} \neq 0$ ,

$\cos (x + \frac{π}{4}) \neq 0$ ,

$\cos \frac{x}{2} \neq 0$ .

Założeń nie będziemy teraz rozwiązywać. Gdy otrzymamy rozwiązanie wyjściowego równania sprawdzimy, czy spełniają wszystkie założenia.

Skorzystamy ze wzoru na tangens sumy argumentów:

$tg (x + \frac{π}{4} + \frac{x}{2}) = \sqrt{3}$

Zauważamy, że $tg \frac{π}{3} = \sqrt{3}$ , zatem korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań trygonometrycznychtwierdzenia o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych otrzymujemy:

$\frac{3}{2} x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + π k$ .

Sprawdzamy założenia i podajemy rozwiązanie:

$x = \frac{π}{18} + \frac{2}{3} π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $\sin 2 x \cdot \cos x + \cos 2 x \cdot \sin x = - \frac{1}{2}$ .

Rozwiązanie:

Skorzystajmy ze wzoru na sinus sumy argumentów $x$ i $2 x$ i zapiszmy równanie w postaci:

$\sin (2 x + x) = - \frac{1}{2}$

$\sin 3 x = - \frac{1}{2}$

Podstawmy $y = 3 x$ . Otrzymujemy wówczas równanie:

$\sin y = - \frac{1}{2}$ .

Znajdujemy jedno rozwiązanie tego równania: $y_{0} = - \frac{π}{6}$ .

Korzystając z twierdzenia o rozwiązywaniu równań trygonometrycznychtwierdzenia o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych otrzymujemy rozwiązania równania $\sin y = - \frac{1}{2}$ :

$y = - \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $y = π + \frac{π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Powracamy do zmiennej $x$ i otrzymujemy:

$3 x = - \frac{π}{6} + 2 k π$ lub $3 x = \frac{7 π}{6} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

A zatem rozwiązaniami równania $\sin 2 x \cdot \cos x + \cos 2 x \cdot \sin x = - \frac{1}{2}$ są:

$x = - \frac{π}{18} + \frac{2 k π}{3}$ lub $x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 k π}{3}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie: $\frac{\cos (\frac{π}{7} - x) - 2 \sin \frac{π}{7} \cdot \sin x}{\sin (\frac{π}{7} - x) + 2 \cos \frac{π}{7} \cdot \sin x} = \sqrt{3}$ .

Zaczniemy od zapisu dziedziny:

$\sin (\frac{π}{7} - x) + 2 \cos \frac{π}{7} \cdot \sin x \neq 0$ .

Rozpiszemy równanie wykorzystując wzory na cosinus i sinus różnicy argumentów:

$\frac{\cos \frac{π}{7} \cdot \cos x + \sin \frac{π}{7} \cdot \sin x - 2 \sin \frac{π}{7} \cdot \sin x}{\sin \frac{π}{7} \cdot \cos x - \cos \frac{π}{7} \cdot \sin x + 2 \cos \frac{π}{7} \cdot \sin x} = \sqrt{3}$ .

Po wykonaniu działań otrzymujemy:

$\frac{\cos \frac{π}{7} \cdot \cos x - \sin \frac{π}{7} \cdot \sin x}{\sin \frac{π}{7} \cdot \cos x + \sin x \cdot \cos \frac{π}{7}} = \sqrt{3}$ .

Teraz wykorzystamy wzory na cosinus i sinus sumy argumentów, aby zwinąć wyrażenia w liczniku i mianowniku do nowej postaci:

$\frac{\cos (x + \frac{π}{7})}{\sin (x + \frac{π}{7})} = \sqrt{3}$ .

Zauważmy, że równanie możemy zapisać jako:

$\frac{1}{tg (x + \frac{π}{7})} = \sqrt{3}$ , czyli $tg (x + \frac{π}{7}) = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Zatem rozwiązaniami są:

$x + \frac{π}{7} = \frac{π}{6} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Po sprawdzeniu warunku z dziedziny otrzymujemy ostatecznie:

$x = \frac{π}{42} + π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 4

Rozwiążemy równanie: $\sin (\frac{π}{4} - x) + \cos (\frac{π}{4} + x) = 1$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru na sinus różnicy argumentów oraz cosinus sumy argumentów rozpiszmy lewą stronę równania:

$\sin \frac{π}{4} \cdot \cos x - \cos \frac{π}{4} \cdot \sin x + \cos \frac{π}{4} \cdot \cos x - \sin \frac{π}{4} \cdot \sin x = 1$ .

Wyznaczając wartości funkcji trygonometrycznych dla znanych argumentów dostajemy równanie:

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x + \frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = 1$

$\sqrt{2} (\cos x - \sin x) = 1$

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cos x - \frac{\sqrt{2}}{2} \sin x = \frac{1}{2}$ .

Liczby $\frac{\sqrt{2}}{2}$ zapisujemy za pomocą funkcji trygonometrycznych:

$\cos \frac{π}{4} \cos x - \sin \frac{π}{4} \sin x = \frac{1}{2}$ .

Teraz możemy wykorzystać wzór na cosinus sumy argumentów, aby lewą stronę zwinąć do postaci:

$\cos (x + \frac{π}{4}) = \frac{1}{2}$ .

Rozwiązaniami równania są:

$x + \frac{π}{4} = \frac{π}{3} + 2 π k$ lub $x + \frac{π}{4} = - \frac{π}{3} + 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Ostatecznie rozwiązania przyjmują postać:

$x = \frac{π}{12} + 2 π k$ lub $x = - \frac{7 π}{12} + 2 π k$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Słownik

twierdzenie o rozwiązywaniu równań trygonometrycznych

Jeżeli $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $\sin x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ lub $x = π - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $a \in ⟨ - 1, 1 ⟩$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $\cos x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ lub $x = - x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .
Jeżeli $a \in ℝ$ i $x_{0}$ jest jednym z rozwiązań równania $tg x = a$ , to każde rozwiązanie tego równania ma postać: $x = x_{0} + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wprowadzenie

Infografika

Słownik