Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Co to znaczy „prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego”?

Przy formułowaniu pojęcia granicy ciągu wykorzystuje się często zwrot „prawie wszystkie wyrazy ciągu nieskończonego”. Zwrot ten stosuje się jedynie do ciągów nieskończonych, tzn. takich które posiadają nieskończenie wiele wyrazów. W związku z tym w dalszym ciągu będziemy mówić po prostu „prawie wszystkie wyrazy ciągu” pamiętając, że ciąg ten musi być ciągiem nieskończonym. Mówiąc najprościej zwrot „prawie wszystkie wyrazy ciągu” oznacza wszystkie jego wyrazy poza skończoną ich ilością. Aby dobrze zrozumieć to sformułowanie przyjrzyjmy się poniższym przykładom.

Przykład 1

Rozważmy ciąg, który składa się ze wszystkich liczb naturalnych: 1,2,3,4,.... Ciąg taki możemy zapisać wzorem

an=n.

Jeżeli usuniemy z tego ciągu kilka jego początkowych wyrazów, np. a1,a2,a3, to otrzymamy ciąg 4,5,6,7,.... Ten nowo otrzymany ciąg składa się z prawie wszystkich wyrazów ciągu (an), gdyż nie zawiera jedynie trzech jego wyrazów a1,a2,a3. Podobnie jeśli wzięlibyśmy pod uwagę ciąg

1,2,3,,100,1000,1001,1002,

Powyższy ciąg zawiera wszystkie wyrazy ciągu (an) za wyjątkiem wyrazów 101,102,103,,999. Wyrazów tych jest dokładnie 899 a zatem ilość skończona. Stąd możemy powiedzieć, że rozważany ciąg zawiera prawie wszytskie wyrazy ciągu (an), tzn. wszytskie poza skończoną ilością (która w tym przypadku jest równa 899).

Spójrzmy na kolejny przykład

Przykład 2

Rozważmy następujący ciąg

2,4,6,8,

Ciąg ten możemy zapisać wzorem an=2n. Jest to ciąg, który składa się ze wszytskich liczb naturalnych parzystych. Każdy wyraz tego ciągu jest też oczywiście wyrazem ciągu an=n, który z kolei składa się ze wszystkich liczb naturalnych. Jednak ciąg 2,4,6,8, nie zawiera żadnej liczby nieparzystej, które też są wyrazamu ciągu an=n. Stąd wynika, że ciąg an=2n pomimo tego, że zawiera nieskończenie wiele wyrazów ciągu an=n (tzn. wszystkie liczby naturalne parzyste) nie zawiera prawie wszystkich jego wyrazów, gdyż nie zawiera liczb nieparzystych, których jest nieskończenie wiele.

Spostrzeżenia z powyższych przykładów możemy zapisać w postaci następującej definicji.

prawie wszystkie wyrazy ciągu
Definicja: prawie wszystkie wyrazy ciągu

Niech dany będzie ciąg oraz pewien zbiór . Powiemy, że do zbioru należą prawie wszystkie wyrazy ciągu , jeśli istnieje co najwyżej skończona liczba wyrazów ciągu , które nie należą do zbioru .

Spójrzmy na kolejny przykład ilustrujący powyższą definicję.

Przykład 3

Rozważmy ciąg

Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów tego ciągu

Sprawdzimy do których z podanych niżej zbiorów należą prawie wszystkie wyrazy danego ciągu.

Na początek zauważmy, że dany ciąg jest ciągiem malejącym, gdyż dla dowolnej liczby , mamy

Wynika stąd, że największym wyrazem tego ciągu jest wyraz . Wnioskujemy stąd, że dla każdego . Z drugiej strony

dla każdego . Reasumując możemy powiedzieć, że wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału .


  • Ponieważ przedział jest rozłączny z przedziałem więc nie należy do niego żaden wyraz ciągu . W szczególności zatem nie należą do niego prawie wszystkie wyrazy ciągu .


  • Zauważmy, że do przedziału nie należy tylko pierwszy wyraz naszego ciągu, który jest równy . Zatem do przedziału należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu (wszystkie poza pierwszym).


  • Do przedziału nie należą wyrazy . Wyraz należy już do przedziału . Ponieważ nasz ciąg jest malejący oraz wszystkie jego wyrazy są większe od więc wyrazy również należą do przedziału . Oznacza to, że prawie wszystkie wyrazy ciągu należą do przedziału (w tym przypadku wszystkie poza pierwszymi trzema).


  • Do przedziału należą wyrazy . Ponieważ oraz ciąg jest malejący więc kolejne wyrazy również nie należą do przedziału . Zatem prawie wszystkie wyrazy ciągu nie należą do przedziału (gdyż należy do niego tylko pięć pierwszych wyrazów).

Prawie wszystkie wyrazy ciągu i otoczenie punktu

W poprzednim temacie omawialiśmy pojęcie otoczenia punktuotoczenie punktuotoczenia punktu. Okazuje się, że pojęcie to wraz z pojęciem prawie wszystkich wyrazów ciągu prowadzi do bardzo ciekawych obserwacji. Spójrzmy na poniższy przykład.

Przykład 4

Rozważmy ciąg

an=1n.

Weźmy dowolne otoczenie liczbyotoczenie punktuotoczenie liczby 0, tzn. zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność , gdzie ε jest dowolną, ustaloną dodatnią liczbą rzeczywistą. Zbiór ten można zapisać w postaci przedziału (-ε,ε). Zauważmy, że wybierając dostatecznie dużą liczbę naturalną N ułamek 1N będzie mniejszy od wybranej dodatniej liczby ε. Ponieważ 1N+1<1N dla dowolnej liczby naturalnej N więc wszystkie wyrazy ciągu an=1n począwszy od wyrazu należą do przedziału (-ε,ε). Obserwacja ta prowadzi do wniosku, że dla dowolnej liczby dodatniej ε do przedziału (-ε,ε) należą prawie wszystkie wyrazy ciągu an=1n (tzn. wszytskie za wyjątkiem wyrazów a1,a2,a3,,aN1). Ilustruje to poniższa grafika.

R16aC1gv3LT0u

Oczywiście im liczba będzie bliżej zera, tym liczba naturalna będzie musiała być większa aby warunek był spełniony. Jednak wciąż nierówność ta będzie spełniona dla prawie wszystkich wyrazów ciągu an=1n ( tzn. dla ułamków ).

Słownik

otoczenie punktu
otoczenie punktu

otoczeniem punktu x0 o promieniu ε>0 nazywamy zbiór

U(x0,ε)={x:|xx0|<ε}