Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Przyjrzyj się przykładom przedstawiającym jak zapisuje się zbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierówności oraz jak przedstawia się taki zbiór na osi liczbowej.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

4·x-2-5·4-x2x

Rozwiązujemy nierówność, przekształcając ją równoważnie.

4x-8-20+5x2x

7x28

x4

A zatem rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe lub równe 4.

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

RqMwjqxe7ncE9

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x4, 
Przykład 2

Rozwiążemy nierówność, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

3·4-x2+x+53>4x-223

Rozwiązujemy nierówność, przekształcając ją równoważnie.

3·4-x2+x+53>4x-223 ·6

9·4-x+2·x+5>6·4x-223

36-9x+2x+10>24x-16

-31x >-62 :-31

x<2

A zatem rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są mniejsze od 2.

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

R1BtkLiKMv37p

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x-, 2
Przykład 3

Rozwiążemy nierówność podwójną, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

-84·x-212

Ta nierówność ma niewiadomą tylko pomiędzy znakami nierówności. Możemy wtedy rozwiązywać nierówność, przekształcając jednocześnie całą nierówność.

-84·x-212 :4

-2x-23 +2

0x5

Rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe lub równe 0 i jednocześnie mniejsze lub równe od 5.

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

RC8SiHjDtxl3D

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x0, 5
Przykład 4

Rozwiążemy nierówność podwójną, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

4x-2<6-x<5x-2

W tej nierówności niewiadoma występuje po różnych stronach nierówności. Musimy zatem rozwiązać układ dwóch powstałych w ten sposób nierówności.

4x-2<6-x6-x<5x-2

Każdą z tych nierówności rozwiązujemy oddzielnie, ale zaznaczamy ich zbiory rozwiązań na jednej osi liczbowej.

4x-2<6-x6-x<5x-2

5x<8 :5-6x<-8 :-6

x<85x>86

Rtlytx4IZxCze

Pomiędzy nierównościami występuje spójnik „i”, a więc rozwiązaniem nierówności podwójnej jest zbiór, który jest iloczynem zaznaczonych przedziałów.

x-, 8586, x86, 85

Rozwiązaniem nierówności jest więc przedział 86, 85.

Przykład 5

Rozwiążemy układ nierówności.

2x-13·x-52·x-1>3-3x-5

Każdą z nierówności rozwiązujemy oddzielnie, a ich zbiory rozwiązań zaznaczamy na jednej osi liczbowej.

2x-13·x-52·x-1>3-3x-5

2x-13x-152x-2>3-3x+5

-x-14 :-15x>10 :5

x14x>2

R1LUj4Y7PoL9k

Układ nierówności spełniają liczby, które spełniają jednocześnie obie nierówności.

A więc rozwiązaniem tego układu jest zbiór, który jest iloczynem otrzymanych przedziałów.

x14, 2, x14, 

Rozwiązaniem układu nierówności jest więc przedział 14, .

Przykład 6

Wiedząc, że liczby x należą do przedziału przedstawionego na osi liczbowej uzupełnimy nierówność: 4x+5>...

R9kII1wg44PHW

Z rysunku możemy odczytać, że:

x>2

Przekształcamy nierówność równoważnienierówności równoważnenierówność równoważnie, tak aby po lewej stronie nierówności otrzymać wyrażenie podane w treści zadania.

x>2 ·4

4x>8 +5

4x+5>13

A zatem nierówność należy uzupełnić liczbą 13.

Słownik

zbiór rozwiązań nierówności
zbiór rozwiązań nierówności

zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność

nierówności równoważne
nierówności równoważne

nierówności posiadające taki sam zbiór rozwiązań