Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Przyjrzyj się przykładom przedstawiającym jak zapisuje się zbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierównościzbiór rozwiązań nierówności oraz jak przedstawia się taki zbiór na osi liczbowej.

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

4·x-2-5·4-x2x

Rozwiązujemy nierówność, przekształcając ją równoważnie.

4x-8-20+5x2x

7x28

x4

A zatem rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe lub równe 4.

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

RqMwjqxe7ncE9

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x4, 
Przykład 2

Rozwiążemy nierówność, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

3·4-x2+x+53>4x-223

Rozwiązujemy nierówność, przekształcając ją równoważnie.

3·4-x2+x+53>4x-223 ·6

9·4-x+2·x+5>6·4x-223

36-9x+2x+10>24x-16

-31x >-62 :-31

x<2

A zatem rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są mniejsze od 2.

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

R1BtkLiKMv37p

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x-, 2
Przykład 3

Rozwiążemy nierówność podwójną, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

-84·x-212

Ta nierówność ma niewiadomą tylko pomiędzy znakami nierówności. Możemy wtedy rozwiązywać nierówność, przekształcając jednocześnie całą nierówność.

-84·x-212 :4

-2x-23 +2

0x5

Rozwiązaniem tej nierówności są wszystkie liczby rzeczywiste, które są większe lub równe 0 i jednocześnie mniejsze lub równe od 5.

Zaznaczamy liczby spełniające taki warunek na osi liczbowej.

RC8SiHjDtxl3D

Zapisujemy zbiór rozwiązań w postaci przedziału.

x0, 5
Przykład 4

Rozwiążemy nierówność podwójną, a następnie zaznaczymy jej zbiór rozwiązań na osi liczbowej i zapiszemy w postaci przedziału.

4x-2<6-x<5x-2

W tej nierówności niewiadoma występuje po różnych stronach nierówności. Musimy zatem rozwiązać układ dwóch powstałych w ten sposób nierówności.

4x-2<6-x6-x<5x-2

Każdą z tych nierówności rozwiązujemy oddzielnie, ale zaznaczamy ich zbiory rozwiązań na jednej osi liczbowej.

4x-2<6-x6-x<5x-2

5x<8 :5-6x<-8 :-6

x<85x>86

Rtlytx4IZxCze

Pomiędzy nierównościami występuje spójnik „i”, a więc rozwiązaniem nierówności podwójnej jest zbiór, który jest iloczynem zaznaczonych przedziałów.

x-, 8586, x86, 85

Rozwiązaniem nierówności jest więc przedział 86, 85.

Przykład 5

Rozwiążemy układ nierówności.

2x-13·x-52·x-1>3-3x-5

Każdą z nierówności rozwiązujemy oddzielnie, a ich zbiory rozwiązań zaznaczamy na jednej osi liczbowej.

2x-13·x-52·x-1>3-3x-5

2x-13x-152x-2>3-3x+5

-x-14 :-15x>10 :5

x14x>2

R1LUj4Y7PoL9k

Układ nierówności spełniają liczby, które spełniają jednocześnie obie nierówności.

A więc rozwiązaniem tego układu jest zbiór, który jest iloczynem otrzymanych przedziałów.

x14, 2, x14, 

Rozwiązaniem układu nierówności jest więc przedział 14, .

Przykład 6

Wiedząc, że liczby x należą do przedziału przedstawionego na osi liczbowej uzupełnimy nierówność: 4x+5>...

R9kII1wg44PHW

Z rysunku możemy odczytać, że:

x>2

Przekształcamy nierówność równoważnienierówności równoważnenierówność równoważnie, tak aby po lewej stronie nierówności otrzymać wyrażenie podane w treści zadania.

x>2 ·4

4x>8 +5

4x+5>13

A zatem nierówność należy uzupełnić liczbą 13.

Słownik

zbiór rozwiązań nierówności
zbiór rozwiązań nierówności

zbiór wszystkich liczb spełniających daną nierówność

nierówności równoważne
nierówności równoważne

nierówności posiadające taki sam zbiór rozwiązań