Warto przeczytać

Dlaczego dopasowanie prostej ma nam dostarczyć jakichś nowych informacji? Czego więcej można się dowiedzieć, skoro na wykresie widzi się wszystkie dane pomiarowe i nic więcej już się nie zobaczy, bo więcej danych nie ma?

Zanim odpowiemy na te pytania wyjaśnijmy, co rozumie się pod stwierdzeniem „dopasowanie prostej”. Otóż mówiąc o „dopasowaniu prostej”, posługujemy się żargonem, który jest popularny wśród ludzi zajmujących się analizą danych pomiarowych. Z kolei w żargonie naukowym termin „dopasowanie prostej” często jest zastępowane innym – „aproksymacja danych pomiarowych zależnością liniową”.

Powiesz, że jedno i drugie jest tak samo niezrozumiałe. Przypomnijmy więc na początek to, co zapewne wiesz już z lekcji matematyki:

R6oH94j7Fquh2

Rys. 1. Na ilustracji widoczny jest wykres współrzędnej małą litera y w funkcji współrzędnej małą litera x. Na pionowej osi mała litera y zaznaczono wartości od minus czterech do sześciu co dwa. Na pionowej osi mała litera x zaznaczono wartości od zera do pięciu co jeden. Na wykresie widoczna jest rosnąca funkcja liniowa, narysowana niebieską linią. Opisano ją wzorem mała litera y równa się mała litera a razy mała litera x dodać mała litera b. Jest to wzór funkcji liniowej. Funkcja przecina oś mała litera y w punkcie o wartości minus dwa. Z tego punktu poprowadzono czerwoną, przerywaną linię poziomą w prawą stroną na której zdefiniowana wartość parametru mała litera b równego minus dwa. Pod wykresem funkcji zaznaczono czerwonymi i przerywanymi liniami trójkąt prostokątny którego przeciwprostokątna pokrywa się z wykresem niebieskiej funkcji. Dolna pozioma przyprostokątna opisana jest jako mała litera d i mała litera x równa cztery. Pionowa przyprostokątna opisana jest jako mała litera d i mała litera y równa sześć. Nad wykresem funkcji widoczne jest wyrażenie definiujące współczynnik kierunkowy funkcji liniowej mała litera a równa się tangensowi kąta nachylenia krzywej względem osi poziomej mała grecka litera alfa co jest równe pochodnej mała wartości funkcji po dziedzinie, mała litera d i mała litera y dzielone przez mała litera d i mała litera x co jest równe dwie trzecie.

Komentarza wymaga jednak zapewne sformułowanie „aproksymacja danych pomiarowych zależnością liniową” lub „dopasowanie prostej” do danych doświadczalnych. Wyjaśnimy to na przykładzie wspominanych już pomiarów temperatury. Danymi, które będziemy analizować, czyli dopasowywać do nich prostą, są wartości średnich temperatur stycznia w latach: 1951 do 2019. Ale jak poprowadzić prostą przez tę „poszarpaną” zależność?

Odpowiadamy:

W ten sposób każdy punkt pomiarowy będzie miał wpływ na przebieg prostej, a wartość współczynnika kierunkowego $a$ powie nam, jaka była uśredniona tendencja. Jeśli wartość ta będzie dodatnia, będzie to oznaczało, że w analizowanym przedziale czasu średnie temperatury wzrosły, a jeśli ujemna, że zmalały.

Przyjmijmy więc, że mamy już to zrobione i wyznaczyliśmy wartość współczynnika $a$. Wartość ta okazała się liczbą dodatnią albo ujemną albo zerową. Czy to jest już rozwiązanie problemu i możemy ogłosić światu, że w Warszawie klimat się ociepla albo, że się ochładza? Wiesz, że konsekwencje tego byłyby bardzo duże, nawet w skali światowej. I tu odwołam się do Twej intuicji, zanim sam Ci to skomentuję. Powiedz, czy znak współczynnika $a$ naprawdę przesądza o tym, że temperatura wzrasta, lub – że maleje. Zanim zaczniesz czytać dalej, zastanów się chwilę, czy istotnie tak jest.

Otóż ważny jest nie tylko znak, ale i wartość współczynnika $a$. A tak naprawdę to nawet i to jest za mało, by wyciągnąć jednoznaczny wniosek. Oczywiście, im większa jest wartość, tym tendencja jest wyraźniejsza. Pamiętajmy jednak, że analizujemy wyniki pomiarów, a wynik każdego pomiaru obarczony jest niepewnością pomiarową. Wiemy też, że źródła niepewności mogą być różne (zob. materiał pt. Jakie mogą być źródła niepewności pomiarowych?) i nie wystarczy tylko super‑dokładny miernik, by pomiar był dokładny, czyli mało różnił się od wartości prawdziwej. Wartość prawdziwa też nie zawsze może być dobrze zdefiniowana. W naszym przypadku temperatury zależą przede wszystkim od stanu pogody w danym miesiącu i na nic zda się super‑dokładny termometr, by mierzone co miesiąc temperatury nie były tak „poszatkowane”. Podsumowując:

A jak to jest w naszym przypadku?

Poniżej przedstawiam Ci wyniki dopasowania prostej: $y=a\cdot x+b$ do danych pomiarowych, w których $x$ to kolejny rok pomiaru, $y$ to średnia temperatura stycznia w latach 1951‑2020, zaś $a$ i $b$ są parametrami tego dopasowania (Rys. 2.).

RgJtsYUV2mPY7

Rys. 2. Na ilustracji widoczny jest wykres przedstawiający średnią temperaturę wyrażoną w stopniach Celsjusza w styczniu w latach od tysiąc dziewięćset pięćdziesiątego roku do dwa tysiące dwudziestego roku. Na pionowej skali temperatury zaznaczono wartości od minus czternastu do sześciu stopni Celsjusza co dwa stopnie Celsjusza. Na poziomej osi lat znajdującej się u góry wykresu zaznaczono alta z krokiem co dziesięć lat. Na wykresie widoczne są niebieskie punkty pomiarowe połączone niebieskimi odcinkami. NA wykresie widoczna jest czerwona funkcja liniowa dopasowana do punktów pomiarowych. Funkcja ta jest rosnąca, zaczyna się od wartości nieco powyżej minus czterech stopni Celsjusza a jej maksymalna wartość jest odrobinę wyższa od minus dwóch stopni Celsjusza. Funkcja ta opisuje jednostajny wzrost średniej temperatury w styczniu na przestrzeni kolejnych lat.

Wartości dopasowanych parametrów wraz z ich niepewnościami standardowyminiepewność pomiarowa standardowaniepewnościami standardowymi są następujące:

W powyższym zapisie niepewności standardowe parametrów podano w nawiasach (zob. materiał pt. Jak prowadzić obliczenia na podstawie wyników pomiarowych i w jaki sposób zapisać wynik?).

Wartość współczynnika $b$ to temperatura w roku 0, a więc na początku naszej ery. Liczba ta nie ma w naszym przypadku sensu fizycznego, bo analizowany przez nas przedział czasu obejmuje „zaledwie” kilkadziesiąt lat, a w okresie ostatnich 2000 lat mogły mieć miejsce bardzo różne tendencje zmian temperatury. Dlatego nie mamy prawa przenosić naszych wyników na te okresy, dla których nie dysponujemy danymi. Warto tu jednak dodać, że czasami takie przedłużenie prostej poza obszar punktów pomiarowych może dostarczyć bardzo ciekawej informacji o rozwoju procesu poza tym obszarem. Takie przedłużanie w ogólności nazywa się ekstrapolacją. A w szczególnym przypadku dla wartości zmiennej niezależnej większej od największej dostępnej w danych - prognozowaniem. Podczas prognozowania należy być jednak ostrożnym i brać pod uwagę też inne czynniki, których badana przez nas zależność nie uwzględnia.

O tendencjach zmian temperatury w okresie ostatnich 70‑ciu lat (w okresie 1951‑2019) informuje współczynnik kierunkowy $a=0,030{}^{\circ }\text{C}/\text{rok}$ wraz z jego niepewnością standardowąniepewność pomiarowa standardowaniepewnością standardową $u(a)=0,019^{~\circ}\text{C}/\text{rok}$. Współczynnik ten ma wartość dodatnią, ale względna niepewność tej wartości jest duża: $\frac{u\left(a\right)}{a}=\frac{0,019}{0,030}\approx 63\mathrm{\%}$. Czy oznacza to, że uzyskany wynik, tj. $a\gt 0$, jest bezwartościowy?

Bynajmniej! To znaczy, że chociaż wynik ten wskazuje na rosnącą tendencję zmiany temperatury w badanym przez nas okresie, to tendencja ta ma dużą niepewność statystyczną wynikającą z niestabilności temperatur w poszczególnych latach. Nie mamy więc stuprocentowej pewności, że w Warszawie nastąpiło ocieplenie.

Na zakończenie chcę wyraźnie podkreślić, że:

Jeśli więc wartość współczynnika kierunkowego jest porównywalna z jego niepewnością, to nie znaczy, że pomiar był zły, tylko że wzajemna zależność pomiędzy badanymi wielkościami jest niewielka.

Słowniczek