Przeczytaj

Zastanowimy się teraz nad wzorem ogólnym ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , gdy dany jest pierwszy wyraz $a_{1}$ i iloraz $q$ ciągu.

Z określenia ciągu geometrycznego wynika, że każdy wyraz tego ciągu począwszy od drugiego, powstaje przez pomnożenie wyrazu poprzedniego przez liczbę $q$ .

a_{1} = a_{1}

a_{2} = a_{1} \cdot q

a_{3} = a_{2} \cdot q = a_{1} \cdot q \cdot q = a_{1} \cdot q^{2}

a_{4} = a_{3} \cdot q = a_{1} \cdot q^{2} \cdot q = a_{1} \cdot q^{3}

. . .

a_{n} = a_{n - 1} \cdot q = a_{1} \cdot q^{n - 2} \cdot q = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Wyraz $n$ –ty ciągu geometrycznego jest równy iloczynowi wyrazu pierwszego $a_{1}$ przez iloraz ciągu podniesiony do potęgi $n - 1$ , czyli $q^{n - 1}$ .

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q \neq 0$ to dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Podamy teraz kilka prostych przykładów na zastosowanie zapisanego wzoru.

Przykład 1

Obliczymy trzeci wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 6$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$a_{3} = 6 \cdot 2^{3 - 1} = 24$ .

Przykład 2

Obliczymy pierwszy wyraz ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{4} = 1$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$1 = a_{1} \cdot 2^{4 - 1}$

$1 = a_{1} \cdot 8$

$a_{1} = \frac{1}{8}$ .

Przykład 3

Znajdziemy iloraz $q$ ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{4} = 2$ i $a_{1} = 6 \frac{3}{4}$ . Podamy wzór ogólny ciągu.

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$a_{4} = a_{1} \cdot q^{4 - 1}$

$2 = \frac{27}{4} \cdot q^{3}$

$q^{3} = \frac{8}{27}$

$q = \sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu geometrycznegowzór ogólny ciągu geometrycznegowzór ogólny ciągu geometrycznego.

$a_{n} = 6 \frac{3}{4} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n - 1}$

Wzór można przekształcić i zapisać w postaci

$a_{n} = \frac{27}{4} \cdot \frac{3}{2} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n} = \frac{81}{8} \cdot {(\frac{2}{3})}^{n}$ .

Przykład 4

Wyznaczymy liczbę $n$ wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 4$ , $q = \frac{3}{2}$ , $a_{n} = \frac{81}{4}$ .

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ .

$\frac{81}{4} = 4 \cdot {(\frac{3}{2})}^{n - 1} | : 4$

$\frac{81}{16} = {(\frac{3}{2})}^{n - 1}$

${(\frac{3}{2})}^{4} = {(\frac{3}{2})}^{n - 1}$

$4 = n - 1$

$n = 5$ .

Przechodzimy do trudniejszych przykładów. Rozwiązanie zapisanych tam problemów będzie wymagało między innymi wykorzystania znajomości rozwiązywania układów równań oraz równań kwadratowych.

Przykład 5

W sześciowyrazowym ciągu geometrycznym $(a_{n})$ iloczyn wyrazów parzystych jest równy $(- 729)$ , a iloczyn wyrazów nieparzystych $19683$ . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu.

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu.

Iloczyn wyrazów parzystych jest równy $(- 729)$ , czyli

$a_{2} \cdot a_{4} \cdot a_{6} = - 729$

Korzystamy ze wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu geometrycznego (czyli ze wzoru na wyraz ogólny ciągu).

$a_{1} q \cdot a_{1} q^{3} \cdot a_{1} q^{5} = - 729$

$a_{1}^{3} \cdot q^{9} = - 729$

Iloczyn wyrazów nieparzystych jest równy $19683$ , czyli

$a_{1} \cdot a_{3} \cdot a_{5} = 19683$

$a_{1} \cdot a_{1} q^{2} \cdot a_{1} q^{4} = 19683$

$a_{1}^{3} \cdot q^{6} = 19683$

Otrzymaliśmy układ równań.

$\{\begin{cases} a_{1}^{3} \cdot q^{9} = - 729 \\ a_{1}^{3} \cdot q^{6} = 19683 \end{cases}$

Dzielimy stronami oba równania układu i uzyskujemy:

$q^{3} = - \frac{729}{19683} = - \frac{1}{27}$

$q = - \frac{1}{3}$

Podstawiamy wyznaczoną liczbę do drugiego równania układu i obliczamy pierwszy wyraz ciągu.

$a_{1}^{3} \cdot {(- \frac{1}{3})}^{6} = 19683$

$a_{1}^{3} \cdot \frac{1}{729} = 19683$

$a_{1}^{3} = 19683 \cdot 729$

Dla ułatwienia obliczeń, każdą z liczb stojących po prawej stronie znaku równości zapiszemy w postaci potęgi liczby $3$ .

$a_{1}^{3} = 3^{9} \cdot 3^{6} = 3^{15}$

$a_{1} = \sqrt[3]{3^{15}} = 3^{5} = 243$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = 243 \cdot {(- \frac{1}{3})}^{n - 1}$ , gdy $n = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ .

Przykład 6

Ciąg $(a_{n})$ jest pięciowyrazowym ciągiem geometrycznym. Suma pierwszych trzech wyrazów tego ciągu jest równa $21$ , a suma trzech ostatnich wyrazów jest równa $336$ . Znajdziemy wyrazy tego ciągu.

Oznaczmy:
$a$ – pierwszy wyraz ciągu,
$q$ – iloraz ciągu.

Zapisujemy układ równań, wynikający z treści zadania.

$\{\begin{cases} a + a q + a q^{2} = 21 \\ a q^{2} + a q^{3} + a q^{4} = 336 \end{cases}$

W obu równaniach wyłączamy wspólne czynniki przed nawias.

$\{\begin{cases} a (1 + q + q^{2}) = 21 \\ a q^{2} (1 + q + q^{2}) = 336 \end{cases}$

Dzielimy stronami oba równania (z treści zadania wynika, że $a \neq 0$ i $q \neq 0$ , a równanie $1 + q + q^{2} = 0$ nie ma pierwiastków).

$q^{2} = 16$

$q = 4$ lub $q = - 4$

Jeśli $q = 4$ to $a = 1$ , $a q = 4$ , $a q^{2} = 16$ , $a q^{3} = 64$ , $a q^{4} = 256$ .

Jeśli $q = - 4$ to $a = \frac{21}{13}$ , $a q = - \frac{84}{13}$ , $a q^{2} = \frac{336}{13}$ , $a q^{3} = - \frac{1344}{13}$ , $a q^{4} = \frac{5376}{13}$ .

Odpowiedź:

Istnieją dwa ciągi spełniające warunki zadania:

$(1, 4, 16, 64, 256)$ i $(\frac{21}{13}, - \frac{84}{13}, \frac{336}{13}, - \frac{1344}{13}, \frac{5376}{13})$ .

Przykład 7

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ iloraz $q = 1 + 2 \sqrt{2}$ i pierwszy wyraz $a_{1} \neq 0$ . Wykażemy, że dla każdej liczby naturalnej $n \geq 1$ prawdziwa jest równość

$7 a_{n} + 2 a_{n + 1} = a_{n + 2}$

Korzystamy ze wzoru $a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}$ i zapisujemy wyrazy dowodzonej równości za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu ciągu.

$7 a_{1} \cdot q^{n - 1} + 2 \cdot a_{1} \cdot q^{n} = a_{1} \cdot q^{n + 1}$

Dzielimy obie strony równości przez $a_{1} \cdot q^{n - 1}$ (oba czynniki iloczynu są różne od $0$ ).

$7 + 2 q = q^{2}$

Podstawiamy $q = 1 + 2 \sqrt{2}$ .

$7 + 2 \cdot (1 + 2 \sqrt{2}) = {(1 + 2 \sqrt{2})}^{2}$

$9 + 4 \sqrt{2} = 9 + 4 \sqrt{2}$

Otrzymaliśmy tożsamość, co kończy dowód.

Przykład 8

W ciągu geometrycznym $(a_{n})$ wszystkie wyrazy są dodatnie i spełniony jest warunek $2 a_{1} - a_{2} = a_{1}^{2} + a_{2}^{2}$ . Wykażemy, że suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest największa, gdy iloraz ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ .

Oznaczmy:
$q$ – iloraz ciągu $(a_{n})$ .

Na podstawie treści zadania zapisujemy równanie.

$2 a_{1} - a_{1} q = a_{1}^{2} + a_{1}^{2} q^{2}$

Dzielimy obie strony równania przez $a_{1}$ (z treści zadania wynika, że $a_{1} \neq 0$ ).

$2 - q = a_{1} (1 + q^{2})$

Wyznaczamy $a_{1}$ .

$a_{1} = \frac{2 - q}{1 + q^{2}}$

Teraz zapisujemy sumę czterech początkowych wyrazów ciągu.

$S_{4} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} = a_{1} (1 + q + q^{2} + q^{3})$

Rozważymy dwa przypadki.

$q = 1 \Rightarrow a_{1} = \frac{1}{2}$ i $S_{4} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$
W tym przypadku ciąg jest stały, suma czterech pierwszych wyrazów jest równa $2$ .

$q \neq 1$
Przekształcamy otrzymaną sumę.
$S_{4} = a_{1} (1 + q + q^{2} + q^{3}) = a_{1} [(1 + q^{2}) + q (1 + q^{2})]$
$S_{4} = a_{1} (1 + q) (1 + q^{2})$
Do sumy, podstawiamy uzyskane wcześniej $a_{1}$ .
$S_{4} = \frac{2 - q}{1 + q^{2}} \cdot (1 + q) (1 + q^{2})$
$S_{4} = - q^{2} + q + 2$
Rozważmy funkcję $S_{4} (q) = - q^{2} + q + 2$ i zbadajmy, dla jakich argumentów $q$ funkcja przyjmuje wartość największą.
Zgodnie z treścią zadania, dziedziną tej funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych dodatnich. Z dziedziny wyłączyliśmy też liczbę $1$ .
Rozpatrywana funkcja jest funkcją kwadratową ( $a = - 1$ , $b = 1$ , $c = 2$ ), zatem największą wartość przyjmuje dla $q = - \frac{b}{2 a}$ , czyli w naszym przypadku dla $q = - \frac{- 1}{2} = \frac{1}{2}$ . Liczba ta należy do dziedziny funkcji.
Obliczamy tę wartość największą.
$S_{4} (\frac{1}{2}) = - {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} + 2$
$S_{4} (\frac{1}{2}) = 2 \frac{1}{4}$

Porównujemy uzyskane sumy.

$2 < 2 \frac{1}{4}$

Wynika z tego, że suma czterech początkowych wyrazów tego ciągu jest największa, gdy iloraz ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ , co należało udowodnić.

Słownik

wzór ogólny ciągu geometrycznego

jeżeli ciąg $(a_{n})$ jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q \neq 0$ to dla każdej liczby naturalnej $n \in ℕ_{+}$

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Wprowadzenie

Animacja

Słownik