Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Są sytuacje, w których z określonych przyczyn nie można dokonać pomiaru. Zdarza się to często przy określaniu długości, szerokości i wysokości obiektów w terenie. Przedstawimy tu kilka problemów, których rozwiązanie jest możliwe dzięki zastosowaniu funkcji trygonometrycznych.

Przykład 1

Obliczymy wysokość budynku, którego cień ma długość 18 m wiedząc, że kąt padania promieni słonecznych wynosi 40°. Wynik podamy z dokładnością do 0,1 m.

R1XFXvI3bfT7x

Trójkąt ABC jest prostokątny, więc z definicji tangensatangens kąta ostrego α w trójkącie prostokątnymtangensa mamy:

tg40°=h18,

z tablic odczytujemy tg40°0,8391.

Po przekształceniach otrzymujemy:

18·0,8391h, czyli

h15,103815,1 m.

Odpowiedź: Budynek ma około 15,1 m wysokości.

Przykład 2

Krzywa wieża w Ząbkowicach Śląskich ma wysokość 34 m i jej odchylenie od pionu wynosi 2,14 m. Wyznaczmy kąt, jaki tworzy z powierzchnią ziemi ściana wieży. O ile stopni odchylona jest wieża od pionu? Podamy wynik z dokładnością do 0,1°.

Rf5PRA7c2ddUV

Powstały trójkąt jest prostokątny.

α - kąt, jaki tworzy ściana wieży z powierzchnią ziemi.

Z definicji tangensatangens kąta ostrego α w trójkącie prostokątnymtangensa mamy:

tgα=342,1415,8879.

Za pomocą kalkulatora znajdujemy przybliżoną wartość kąta α:

α86,398498, a zatem

α86,4°.

β - kąt odchylenia wieży od pionu.

β=90°-α, a zatem

β90°-86,4°3,6°.

Odpowiedź: Z powierzchnią ziemi ściana wieży tworzy kąt około 86,4°. Wieża jest odchylona od pionu o około 3,6°.

Przykład 3

Jedną z trzech największych piramid egipskich w Gizie jest piramida Chefrena. Długość boku u podstawy tej piramidy wynosi 214,5 m, a ściany boczne są nachylone do podstawy pod kątem 53°7'48''53° (kąt zaznaczono na rysunku). Obliczymy wysokość tej piramidy. Wynik podamy z dokładnością do 1 m.

Piramida ma kształt ostrosłupa o podstawie kwadratu. Na rysunku przedstawiamy sytuację z zadania:

RdO3LSnrNy6i3

gdzie

h – wysokość piramidy,
α - kąt nachylenia ściany bocznej do podstawy piramidy,
α53°.

Rozważany trójkąt jest prostokątny – długości jego przyprostokątnych to: hb. Z rysunku wynika, że b=a2.

Z definicji tangensa mamy:

tgα=hb=h12a=2ha.

Podstawiamy dane z zadania:

tg53°=2h214,5,

2·h=tg53°·214,51,3270·214,5284,6415284,6,

h284,62142,3142 m.

Odpowiedź: Wysokość piramidy Chefrena wynosi około 142 m.

Przykład 4

Kolej gondolowa na Stok Izerski ma długość trasy 2171 m. Stacja dolna tej kolei znajduje się na wysokości 617 m n.p.m., a górna na wysokości 1060 m n.p.m. Obliczymy średnie nachylenie stoku. Podamy wynik z dokładnością do 0,1°.
Zakładając, że wjazd gondoli odbywa się po linii prostej, obliczymy, jaka jest odległość stacji dolnej od punktu, który leży na tej samej wysokości, ale pod stacją górną.

RPJR40VCqygdM

Różnica wysokości między stacją górną a dolną jest długością boku BC trójkąta ABC. Oznaczmy:

BC=h

h=1060-617=443 m.

Trójkąt ABC jest prostokątny, więc z definicji sinusasinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnymsinusa mamy:

sinα=hAC, gdzie

h=443 m oraz AC=2171 m,

sinα=44321710,2040.

Za pomocą kalkulatora obliczamy  przybliżoną wartość kąta α:

α=11,77°12°.

Odległość stacji dolnej od punktu, który leży na tej samej wysokości, ale pod stacją górną, policzymy z definicji funkcji cosinuscosinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnymcosinus.

Podstawiając cos12°0,9781, otrzymujemy

0,9781x2171.

Zatem

x0,9781·21712123,42123 m.

Odpowiedź: Średnie nachylenie stoku wynosi około 12°, a punkt, który leży na tej samej wysokości, ale pod stacją górną jest o około 2123 m odległy od stacji dolnej.

Przykład 5

Wał ochronny ma przekrój trapezu równoramiennego, przy czym górna szerokość wału wynosi 4 m, natomiast boczne nasypy o długości 7 m są nachylone do poziomu pod kątem 27°. Oblicz dolną szerokość wału oraz jego wysokość.

R1Ir5UijA9Xzh

EF=DC=4 m

Trapez ABCD jest równoramienny, więc AE=FB.

Szerokość dolnej części wału wynosi: AB=AE+EF+FB, a ponieważ AE=FB, to:

AB=2AE+DC

DC =4 m, więc

AB=2AE+4.

Aby wyznaczyć dolną część wału, należy obliczyć długość odcinka AE.

Trójkąt AED jest prostokątny, zatem z definicji funkcji cosinuscosinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnymcosinus mamy:

cosα=AEAD.

Podstawiając: α=27°, AD=7, otrzymujemy

cos27°=AE7.

Z tablic odczytujemy wartość cos27°0,8910,

0,8910AE7.

Stąd

AE7·0,89106,2376,2.

Wynik podamy z przybliżeniem do 0,1 m: AE6,2 m.

Szerokość dolnej części wału, czyli długość podstawy trapezu, wynosi:

AB2AE+412,4+416,4 m.

Wysokość wału obliczymy z definicji funkcji sinussinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnymsinus.

sin27°=EDAD

ED=h, AD=7 m

sin27°=h7

h·7=sin27°

Ponieważ sin27°0,4550 (odczytujemy z tablic trygonometrycznych), to

h7·0,45403,1783,2.

Wynik podamy z przybliżeniem do 0,1 m:

h3,2 m.

Odpowiedź: Dolna część wału ma szerokość około 16,4 m. Wysokość wału wynosi około 3,2 m.

Słownik

sinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym
sinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym

nazywamy stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi α do długości przeciwprostokątnej.

cosinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym
cosinus kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej przyległej do kąta α do długości przeciwprostokątnej

tangens kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym
tangens kąta ostrego α w trójkącie prostokątnym

stosunek długości przyprostokątnej przeciwległej kątowi α do długości przyprostokątnej przyległej do kąta α