Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki
symbol Newtona (definicja funkcyjna)
Definicja: symbol Newtona (definicja funkcyjna)

Symbolem Newtona (współczynnikiem dwumianowym, dwumiennym) Newtona nazywamy funkcję dwóch argumentów naturalnych k, n określoną wzorem

nk=n!k!·n-k!

gdzie 0kn.

Symbol nk czytamy: n nad k lub n po k.

Wartość symbolu Newtona można obliczyć w uproszczony sposób:

nk=n·n-1·...·n-k+11·2·3·...·k
Rzb6D2QYWJF4E1
Andreas Freiherr von Ettingshausen, 1796 - 1878
Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna.

Symbol nk jako pierwszy wprowadził fizyk i matematyk austriacki Andreas von Ettingshausen, najbardziej znany z tego, że zaprojektował maszynę elektromagnetyczną, która wykorzystywała indukcję elektryczną do wytwarzania energii.

Podstawowe własności symbolu Newtona wynikają bezpośrednio z definicji.

n0=nn=1
n1=nn-1=n
nk=nn-k
Przykład 1

Zapoznaj się z filmem, który przybliży Ci sposoby obliczania wartości symbolu Newtona.

R1Qp5Iggunpme
Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący symbolu Newtona.

Symbol Newtona występuje w wielu dziedzinach matematyki – algebrze, teorii ciągów, prawdopodobieństwie, statystyce. W tym materiale pokażemy tylko niektóre jego zastosowania.

Przykład 2

Niech p będzie liczbą pierwszą. Wykażemy, że liczba p dzieli każdą liczbę pk dla k=1, 2, ..., p-1.

pk=p!k!·p-k!

pk=pp-1p-2·...·p-k+11·2·3·...·k

W liczniku ułamka jednym z czynników jest p. W mianowniku występują liczby mniejsze od p, które nie są dzielnikami p (za wyjątkiem liczby 1), gdyż liczba p jest liczbą pierwszą. Liczba pk jest całkowita, zatem w jej rozkładzie na czynniki pierwsze występuje p. Czyli liczba p dzieli pk, co należało wykazać.

Symbol Newtona równy jest liczbie wszystkich k–elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru n–elementowego (nieuporządkowanego). W nomenklaturze kombinatorycznej współczynnik ten z reguły oznacza się Cnk.

Przykład 3

Obliczymy, ile jest sposobów wyboru 2 spośród 4 elementów: A, B, C, D.

Wypisujemy wszystkie możliwości:

A, B, A, C, A, D, B, C, B, D, C, D. Jest ich 6.

Wyznaczmy teraz te możliwości, korzystając z symbolu Newtonasymbol Newtona symbolu Newtona.

42=4!2!·2!=3·42=6

Otrzymaliśmy ten samy wynik. Zatem jest 6 możliwości wyboru 2 spośród 4 elementów.

Przykład 4

Gra w Lotto polega na wytypowaniu wyników losowania 6 spośród 49 liczb.

Obliczymy ile jest możliwych wyników z trafioną „piątką”.

Aby trafić „piątkę” należy wybrać pięć liczb spośród sześciu, które zostaną wylosowane i jedną liczbę spośród pozostałych.

65·49-61=6·431=6·43=258

Jest zatem 258 możliwych wyników z trafioną „piątką”.

Przykład 5

Za pomocą symbolu Newtona określane są liczby Catalana, nazwane tak na cześć belgijskiego matematyka Eugene Catalana. Liczby te można wyznaczyć, korzystając ze wzoru:

cn=1n+1·2nn dla n0

Liczby Catalana mają liczne zastosowania kombinatoryczne, na przykład do określania liczby podziałów wielokąta na trójkąty.

Obliczymy szóstą liczbę  w ciągu liczb  Catalana.

c5=15+1·105=16·10!5!·5!

c 5 = 10 9 8 7 6 6 120 = 42

Początkowe liczby Catalana:

1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, ...

Symbol Newtonasymbol Newtona Symbol Newtona związany jest ze wzorem dwumiennym (dwumianowym) Newtona (jako współczynnik w k–tym wyrazie rozwinięcia n–tej potęgi dwu składników – stąd nazwa – współczynnik dwumienny).

Szczególne przypadki twierdzenia dwumianowego znane były już za czasów Euklidesa. Uogólnienie twierdzenia przypisuje się Izaakowi Newtonowi.

Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym potęgę x+yn można zapisać jako sumę jednomianów postaci axkyt. Współczynniki a przy jednomianach to symbole Newtona, suma liczb kt jest równa n.

Wzór dwumianowy Newtona
Twierdzenie: Wzór dwumianowy Newtona
x+yn=n0xny0+n1xn-1y1+n2xn-2y2+...
...+nn-1x1yn-1+nnx0yn

W szczególności podstawiając x=1, y=1 otrzymujemy:

1+1n=2n=n0+n1+...+nn-1+nn
Przykład 6

Wykażemy, że

n0-n1+n2-n3+...+-1n-1·nn-1+-1n·nn=0

Do wzoru dwumianowego Newtona podstawiamy x=1, y = 1 .

1-1n=n0-n1+n2-n3+...

...+-1n-1·nn-1+-1n·nn

Czyli

0=n0-n1+n2-n3+...+-1n-1·nn-1+-1n·nn

Przykład 7

Wyznaczymy współczynniki liczbowe rozwinięcia potęgi 1+x5.

1+x5=50·x0+51·x1+52·x2+53·x3+

+54·x4+55·x5

1+x5=1+5x+10x2+10x3+5x4+x5

Odpowiedź:

Współczynniki liczbowe to: 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Słownik

symbol Newton
symbol Newton

symbolem Newtona (współczynnikiem dwumianowym, dwumiennym) Newtona nazywamy funkcję dwóch argumentów naturalnych k, n określoną wzorem

nk=n!k!·n-k!

gdzie 0kn