Przeczytaj
Symbolem Newtona (współczynnikiem dwumianowym, dwumiennym) Newtona nazywamy funkcję dwóch argumentów naturalnych , określoną wzorem
gdzie .
Symbol czytamy: nad lub po .
Wartość symbolu Newtona można obliczyć w uproszczony sposób:
Symbol jako pierwszy wprowadził fizyk i matematyk austriacki Andreas von Ettingshausen, najbardziej znany z tego, że zaprojektował maszynę elektromagnetyczną, która wykorzystywała indukcję elektryczną do wytwarzania energii.
Podstawowe własności symbolu Newtona wynikają bezpośrednio z definicji.
Zapoznaj się z filmem, który przybliży Ci sposoby obliczania wartości symbolu Newtona.
Symbol Newtona występuje w wielu dziedzinach matematyki – algebrze, teorii ciągów, prawdopodobieństwie, statystyce. W tym materiale pokażemy tylko niektóre jego zastosowania.
Niech będzie liczbą pierwszą. Wykażemy, że liczba dzieli każdą liczbę dla , , , .
W liczniku ułamka jednym z czynników jest . W mianowniku występują liczby mniejsze od , które nie są dzielnikami (za wyjątkiem liczby ), gdyż liczba jest liczbą pierwszą. Liczba jest całkowita, zatem w jej rozkładzie na czynniki pierwsze występuje . Czyli liczba dzieli , co należało wykazać.
Symbol Newtona równy jest liczbie wszystkich –elementowych kombinacji bez powtórzeń zbioru –elementowego (nieuporządkowanego). W nomenklaturze kombinatorycznej współczynnik ten z reguły oznacza się .
Obliczymy, ile jest sposobów wyboru spośród elementów: .
Wypisujemy wszystkie możliwości:
, , , , , . Jest ich .
Wyznaczmy teraz te możliwości, korzystając z symbolu Newtonasymbolu Newtona.
Otrzymaliśmy ten samy wynik. Zatem jest możliwości wyboru spośród elementów.
Gra w Lotto polega na wytypowaniu wyników losowania spośród liczb.
Obliczymy ile jest możliwych wyników z trafioną „piątką”.
Aby trafić „piątkę” należy wybrać pięć liczb spośród sześciu, które zostaną wylosowane i jedną liczbę spośród pozostałych.
Jest zatem możliwych wyników z trafioną „piątką”.
Za pomocą symbolu Newtona określane są liczby Catalana, nazwane tak na cześć belgijskiego matematyka Eugene Catalana. Liczby te można wyznaczyć, korzystając ze wzoru:
dla
Liczby Catalana mają liczne zastosowania kombinatoryczne, na przykład do określania liczby podziałów wielokąta na trójkąty.
Obliczymy szóstą liczbę w ciągu liczb Catalana.
Początkowe liczby Catalana:
, , , , , , , , , , , ,
Symbol NewtonaSymbol Newtona związany jest ze wzorem dwumiennym (dwumianowym) Newtona (jako współczynnik w –tym wyrazie rozwinięcia –tej potęgi dwu składników – stąd nazwa – współczynnik dwumienny).
Szczególne przypadki twierdzenia dwumianowego znane były już za czasów Euklidesa. Uogólnienie twierdzenia przypisuje się Izaakowi Newtonowi.
Zgodnie z twierdzeniem dwumianowym potęgę można zapisać jako sumę jednomianów postaci . Współczynniki przy jednomianach to symbole Newtona, suma liczb i jest równa .
W szczególności podstawiając , otrzymujemy:
Wykażemy, że
Do wzoru dwumianowego Newtona podstawiamy , .
Czyli
Wyznaczymy współczynniki liczbowe rozwinięcia potęgi .
Odpowiedź:
Współczynniki liczbowe to: , , , , , .
Słownik
symbolem Newtona (współczynnikiem dwumianowym, dwumiennym) Newtona nazywamy funkcję dwóch argumentów naturalnych , określoną wzorem
gdzie