Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W zadaniach zajmiemy się między innymi problemami związanymi z oprocentowaniem lokat i kapitalizacją odsetek w kilku okresach oszczędzania.

Przypomnimy wzór na procent składany, pozwalający obliczyć wielkość kapitału zgromadzonego po n latach oszczędzania.

Kn=K·1+pkn·k,

gdzie:
K – kapitał początkowy,
n – liczba lat oszczędzania,
p – oprocentowanie w skali roku, wyrażone w ułamku dziesiętnym,
k – liczba kapitalizacji w ciągu roku,
Kn – kapitał zgromadzony po n latach oszczędzania.

Przypomnimy również wzór na liczbę przekątnych w n–kącie wypukłym:

L=nn-32
Przykład 1

Płaszcz kosztował 360 . Po dwukrotnej obniżce o ten sam procent za każdym razem płaszcz kosztuje 234,90 . Obliczymy, o jaki procent za każdym razem obniżono cenę płaszcza.

Niech:
x – ułamek dziesiętny, określający procent wartości płaszcza po obniżce.

Zapiszemy równanie wynikające z warunków zadania.

360·x2=324,90

x2=0,9025

x=0,95 lub x=-0,95<0 – nie spełnia warunków zadania

1-0,95=0,05=5%

Cenę płaszcza obniżono dwukrotnie o 5%.

Przykład 2

Oblicz n, jeżeli wiadomo że liczba przekątnych n–kąta wypukłego jest równa 35.

nn-32=35

nn-3=70

n2-3n-70=0

=-32+4·70=9+280=289=17

n1=3-172=-7<0

n2=3+172=10

Szukana liczba jest równa dziesięć. Jest to 10–kąt wypukły.

Przykład 3

Obliczymy, ile boków ma wielokąt wypukły w którym liczba przekątnych jest o 75 większa od liczby jego boków.

Niech:
n – liczba boków wielokąta,
nn-32 – liczba przekątnych wielokąta.

Zapiszemy równanie:

nn-32-75=n

n2-3n-150=2n

n2-5n-150=0

=25+4·150=25+600=625=25

n1=5-252=-10<0 – nie spełnia warunków zadania

n2=5+252=15

Wielokąt ma 15 boków.

Przykład 4

Prostokątny obraz bez ramy ma wymiary 75 cm×35 cm, natomiast wraz z ramą powierzchnia obrazu jest równa 3444 cm2. Obliczymy szerokość ramy obrazu.

Niech:
12x – szerokość ramy.

Wówczas: x+75x+35=3444.

x2+35x+75x+2625=3444

x2+110x-819=0

=12100-4-819-15376=124

x1=-110-1242=-2342=-117<0

x2=-110+1242=142=7

Rama ma szerokość 3,5 cm.

Przykład 5

Pan Krzysztof wpłacił do banku na dwuletnią lokatę kwotę 10000 . Kapitalizacja odsetek była po każdym roku oszczędzania. Po dwóch latach pan Krzysztof odebrał z banku wraz z odsetkami kwotę 11025 . Obliczymy, jakie było roczne oprocentowanie tej lokaty.

Niech:
x – roczne oprocentowanie lokaty, wyrażone w ułamku dziesiętnym.

Korzystając ze wzoru na procent składanywzór na procent składanywzoru na procent składany możemy zapisać równanie:

10000·1+x2=11025

1+x2=1,1025

1+x=1,05

1+x=1,05 lub 1+x=-1,05

x=0,05

lub

x=-2,05 – nie spełnia warunków zadania, bo oprocentowanie nie może być ujemne

Oprocentowanie lokaty wynosiło 5% w stosunku rocznym.

Słownik

wzór na procent składany
wzór na procent składany
Kn=K·1+pkn·k,

gdzie:
K – kapitał początkowy,
n – liczba lat oszczędzania,
p – oprocentowanie w skali roku, wyrażone w ułamku dziesiętnym,
k – liczba kapitalizacji w ciągu roku,
Kn – kapitał zgromadzony po n latach oszczędzania