Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest zbieżnyszereg liczbowyzbieżny i jego sumą jest liczba $s$. Uzasadnimy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$ jest także zbieżny, a jego suma jest równa $k·s$.

Rozwiązanie

Ciąg sum częściowych szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest następującej postaci:

$s_n=a_1+a_2+a_3+\dots +a_n$.

Ciąg sum częściowych szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$ jest następującej postaci:

$t_n=k·a_1+k·a_2+k·a_3+\dots +k·a_n=$

$=k\left(a_1+a_2+a_3+\dots +a_n\right)=k·s_n$.

Ponieważ ciąg $\left(s_n\right)$ jest zbieżny do $s$, zatem ciąg $\left(t_n\right)=\left(k\cdot s_n\right)$ jest zbieżny do $k·s$.

Zatem udowodniliśmy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$ jest także zbieżny, a jego suma jest równa $k·s$.

Jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest zbieżny i jego sumą jest liczba $s$, to szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$ jest także zbieżny, a jego suma jest równa $k·s$.

Jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest zbieżny, to $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=0$.

Dowód

Pamiętamy z poprzedniej lekcji, że dla liczb naturalnych $n>1$ zachodzi równość: $a_n=s_n-s_{n-1}$, gdzie $\left(s_n\right)$ jest ciągiem sum częściowych.

Ponieważ

$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_{n-1}$,

zatem $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(s_n-s_{n-1}\right)=\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n-\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_{n-1}=0$.

Sprawdzimy, czy szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu.

Rozwiązanie

Obliczymy granicę

$\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=$

$=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)}=0$.

Zatem ciąg $a_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$ jest zbieżny do zera.

Ciąg sum częściowych

$s_n=\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)+\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)+\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)+\dots \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)=\sqrt{n+1}-1$

jest jednak rozbieżny do $+\infty$, a zatem szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)$ jest rozbieżny, mimo, że warunek konieczny zbieżności szeregu był spełniony.

Zakładamy, że nierówność $0⩽a_n⩽b_n$ zachodzi dla prawie wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n$.

Jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_n$ jest zbieżny, to również szereg $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ jest zbieżny.

Jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ jest rozbieżny, to również szereg $\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_n$ jest rozbieżny.

Zbadamy teraz zbieżność szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$.

Rozwiązanie

Wykażemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ jest zbieżny i że jego suma jest nie większa niż $2$.

Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej $n>1$ zachodzi nierówność:$\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n\left(n-1\right)}=\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$.

Zatem

$1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}<$

$<1+\frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}=2-\frac{1}{n}<2$

Stąd wynika, że $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\cdots +\frac{1}{n^2}\right)⩽2$.

Ale tę zbieżność możemy też uzasadnić korzystając z kryterium porównawczego.

Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ możemy zapisać następująco:

$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$.

Zauważmy, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność: $\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}<\frac{1}{\left(n+1\right)n}$.

Wiemy także, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\left(n+1\right)n}$ jest zbieżny do $1$.

Korzystając z kryterium porównawczego otrzymujemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}$ jest zbieżny i jego suma jest mniejsza niż $1+1=2$.

Zbadamy zbieżność szeregu $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!+3}{\left(n+2\right)!+1}$.

Rozwiązanie

Skorzystamy z kryterium porównawczego.

Uzasadnimy, że dla dowolnej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność:

$\frac{n!+3}{\left(n+2\right)!+1}<\frac{4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$.

Przekształcamy kolejno nierówność:

$\left(n!+3\right)\left(n+1\right)\left(n+2\right)<4\left(n+2\right)!+4$

$\left(n+2\right)!+3\left(n+1\right)\left(n+2\right)<4\left(n+2\right)!+4$

$3(n+1)(n+2)<3(n+2)!+4$

Ostatnia nierówność jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej $n$. Wszystkie przejścia były równoważne, zatem nierówność $\frac{n!+3}{\left(n+2\right)!+1}<\frac{4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$ jest prawdziwa dla dowolnej liczby naturalnej $n$.

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$ jest zbieżny, zatem na podstawie kryterium porównawczego zbieżny jest także szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n!+3}{\left(n+2\right)!+1}$.

szeregiem liczbowym o wyrazach $a_1,a_2,a_3,...$ nazywamy ciąg, którego kolejnymi wyrazami są sumy początkowych wyrazów ciągu $\left(a_n\right)$:

$s_1=a_1$,

$s_2=a_1+a_2$,

$s_3=a_1+a_2+a_3$,

...

jeżeli ciąg sum częściowych szeregu ma granicę, to nazywamy ją sumą szeregu; jeżeli suma szeregu jest skończona, to szereg nazywamy zbieżnym, jeżeli suma szeregu jest nieskończona lub jeżeli ciąg sum częściowych szeregu nie ma granicy, to szereg nazywamy rozbieżnym