Warto przeczytać

Istnieje pewna szczególna klasa wielkości fizycznych – wielkości wektorowe. Do ich opisu nie wystarczy podać ich wartości, należy jeszcze uwzględnić kierunek i zwrot. Jak więc wykonywać działania na tych wielkościach?

Możemy wykonywać działania mnożenia na wektorach, jednak jest to bardziej skomplikowane niż w przypadku liczb (skalarów). Istnieją trzy działania, przypominające mnożenie wektorów:

– iloczyn skalarny dwóch wektorów – jego wynikiem jest zawsze skalar,

– mnożenie wektora przez skalar – jego wynikiem jest zawsze wektor.

– iloczyn wektorowy dwóch wektorów – jego wynikiem jest zawsze wektor,

W niniejszym e‑materiale omówimy iloczyn wektora przez liczbę oraz iloczyn skalarny wektorów.

Mnożenie wektora przez liczbę

Zacznijmy od mnożenia wektora przez liczbę. Wynikiem takiego działania jest zawsze wektor. Dla wektora $\overrightarrow{a}$ i liczby $k$ zapisujemy to działanie następująco:

Zwrot wektora $\overrightarrow{b}$ jest taki sam, jak wektora $\overrightarrow{a}$, jeśli $k>0$. Jeśli $k<0$, wtedy zwroty $\overrightarrow{b}$i  $\overrightarrow{a}$ są przeciwne. Długość wektora $\overrightarrow{b}$ wynosi

RXuTHMZqckZji

Rys. 1. Na rysunku jest wektor oznaczony literą v ze strzałką nad nią. Obok narysowano drugi wektor o długości 2 razy większej niż długość wektora v. Drugi wektor jest równoległy do wektora v i skierowany zgodnie z nim. Przy tym wektorze jest napis: litera u ze strzałką nad nią równa się 2 razy literą v ze strzałką nad nią. Narysowano też trzeci wektor o długości 2 razy większej niż długość wektora v. Trzeci wektor jest równoległy do wektora v i skierowany przeciwnie do niego. Przy tym wektorze jest napis: litera w ze strzałką nad nią równa się minus 2 razy literą v ze strzałką nad nią.

Mnożenie wektora przez skalar możemy również opisać w języku współrzędnych. Zapiszmy wektor $\overrightarrow{a}$ jako

Jeśli $\overrightarrow{b}=k·\overrightarrow{a}$ i  $\overrightarrow{b}=[b_x;b_y]$, to

Zatem współrzędne wyniku są iloczynem liczby, przez którą mnożymy wektor, i jego odpowiednich współrzędnych; są to już znane z lekcji matematyki iloczyny liczb, w ogólności rzeczywistych.

Ze szczególnym przypadkiem mamy do czynienia, gdy mnożymy wektor przez -1; w wyniku otrzymujemy wektor przeciwny do danego. Mnożąc dowolny wektor przez $0$, dostajemy wektor zerowy, $\overrightarrow{0}$ (o współrzędnych $[0;0]$).

Dzielenie wektora przez liczbę definiujemy w sposób w tym sensie „naturalny”, że stosujemy definicję dzielenia liczb. Dzielenie to mnożenie przez odwrotność, o ile ta odwrotność istnieje, tj. o ile nie usiłujemy dzielić przez zero.

Przykładem zastosowania operacji mnożenia wektora przez skalar jest zapis drugiej zasady dynamiki, która mówi, że jeśli na ciało o masie $m$ działa wypadkowa siła $\overrightarrow{F}$, to ciało porusza się z przyspieszeniem $\overrightarrow{a}$ proporcjonalnym do działającej siły, a jego długość jest odwrotnie proporcjonalna do masy ciała,

Przyspieszenie ma zwrot i kierunek taki, jak działająca na ciało siła. Odwrotność masy jest oczywiście dodatnią wielkością skalarną.

Siła i przyspieszenie to jeden z wielu przykładów par wielkości wektorowych związanych ze sobą operacją mnożenia przez liczbę. Inny przykład to definicje pęduPędpędu oraz natężenia pola elektrostatycznego.natężenie pola elektrostatycznegonatężenia pola elektrostatycznego.

Pęd ciałaPędPęd ciała $\overrightarrow{p}$ to iloczyn masy tego ciała przez jego prędkość,

Ponieważ prędkość ciała jest wielkością wektorową, pędPędpęd, który jest wynikiem mnożenia tego wektora przez masę, również musi być wektorem.

Mówimy, że w przestrzeni istnieje pole elektrostatyczne, jeśli na umieszczone w tej przestrzeni ciała naładowane działają siły elektrostatyczne.

Natężeniem pola elektrostatycznegonatężenie pola elektrostatycznegoNatężeniem pola elektrostatycznego w danym punkcie przestrzeni nazywamy iloraz wektora siły elektrostatycznej działającej na umieszczony w tym punkcie ładunek próbny przez wartość tego ładunku,

Ponieważ siła elektrostatyczna jest wielkością wektorową, to natężenie polanatężenie pola elektrostatycznegonatężenie pola, które jest wynikiem dzielenia wektora przez skalar, również musi być wektorem.

Iloczyn skalarny dwóch wektorów

Działaniem, które możemy wykonywać na parach wektorów, ale którego wynikiem jest liczba, jest iloczyn skalarny. Aby odróżnić iloczyn skalarny od wektorowego, iloczyn skalarny wektorów oznaczamy stawiając kropkę między wektorami (tak jak w przypadku mnożenia wielkości skalarnych oraz skalarów przez wektory). W wielu tekstach znak ten się opuszcza.

Z definicji, jeśli $c=\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}$, to liczba $c$ jest równa iloczynowi wartości obu wektorów oraz cosinusaFunkcje trygonometryczne sinus i cosinuscosinusa kąta $\alpha$ między nimi,

Okazuje się, że ten na pozór skomplikowany związek ma całkiem prostą postać w języku współrzędnych wektorów. Jeśli, jak poprzednio,

to

Jeśli się dobrze przyjrzeć powyższemu wyrażeniu, zauważymy, że nie zmienia ono wartości przy zmianie miejscami mnożonych czynników w obu składnikach. Również z parzystości cosinusa wynika, że iloczyn skalarny jest przemienny, czyli dla dowolnej pary wektorów $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}·\overrightarrow{a}$.

Dla zainteresowanych

Spójrzmy na przedstawione powyżej dwa sposoby wyrażania iloczynu skalarnego. Jeśli porównamy prawe strony wzorów wyrażających wartość c, otrzymamy

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=a\cdot b\cdot cos\alpha ,$

co dla niezerowych wektorów, po podzieleniu przez iloczyn ich długości, daje

$cos\alpha =\frac{\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}}{a\cdot b}.$

Oznacza to, że jeżeli znamy współrzędne wektorów, to - stosując drugi ze wzorów na iloczyn skalarny - będziemy mogli znaleźć kąt między wektorami. Jako przykład weźmy wektory $\overrightarrow{a}=[2;-3]$ oraz $\overrightarrow{b}=[1;3]$ z Rys. 2.

Ich długości to, odpowiednio, $\sqrt{13}$ oraz $\sqrt{10}$, a iloczyn skalarny wynosi $2\cdot 1+(-3)\cdot 3=-7$, zatem

$cos\measuredangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=-\frac{7}{\sqrt{10}\sqrt{13}}\approx -\mathrm{0,614}.$

Korzystając np. z kalkulatora online można znaleźć kąt, którego cosinus ma tę wartość. Wynosi on ok. $\mathrm{2,23}$ radiana, czyli ok. $128°$. Uwaga: wynik ten nie zależy od punktów zaczepienia tych wektorów - tu dla czytelności kąta wybraliśmy wspólny dla obu punkt [1, 1].

RlFKgsmSMu2af

Rys. 2. Na rysunku znajduje się układ współrzędnych. W układzie narysowano 2 wektory, zielony i czerwony, o wspólnym początku. Zaznaczony jest kąt między wektorami.

Z faktu, że $cos90°=0$, wynika ważna własność: iloczyn skalarny wektorów prostopadłych wynosi zero. Oczywiście (w nieco mniej ciekawym przypadku) iloczyn skalarny wynosi zero, jeśli przynajmniej jeden z wektorów jest zerowy - wtedy pojęcie kierunku między wektorami nie ma sensu. Można też podać odwrotne wynikanie: jeśli $\overrightarrow{a}·\overrightarrow{b}=0$, to albo $\measuredangle (\overrightarrow{a},\overrightarrow{b})=\pi /2$ (ew. $3\pi /2$), albo któryś z wektorów jest zerowy.

Ostatnią ważną własność iloczynu skalarnego da się zauważyć biorąc za oba argumenty iloczynu ten sam wektor. Albo wykonując rachunek z użyciem współrzędnych, albo biorąc pod uwagę, że dla dowolnego niezerowego wektora kąt między nim a samym sobą jest zero, otrzymujemy

zatem iloczyn skalarny dowolnego wektora z tym samym wektorem jest kwadratem jego długości.

Przykładem zastosowania iloczynu skalarnego w fizyce jest praca. Praca jest zdefiniowana jako iloczyn skalarny wektora siły $\overrightarrow{F}$ i wektora przesunięcia $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$. Zatem

gdzie $\alpha$ jest kątem między wektorem siły i wektorem przesunięcia.

Słowniczek

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus

Funkcje trygonometryczne sinus i cosinus

(ang.: sine and cosine functions) Rozważmy trójkąt prostokątny, jak na rysunku poniżej.

RaliGwgW6JYgU

Na rysunku jest trójkąt prostokątny. Przyprostokątna o kierunku pionowym oznaczona jest literą a, przyprostokątna o kierunku poziomym - literą b, przeciwprostokątna – literą c. Kąt między przyprostokątną b i przeciwprostokątną c oznaczony jest grecką literą alfa.

Sinus kąta αalfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciw kąta αalfa do długości przeciwprostokątnej:

$\sin \alpha =\frac{a}{c}.$

Cosinus kąta αalfa to stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy kącie αalfa do długości przeciwprostokątnej:

$\cos \alpha =\frac{b}{c}.$

Z twierdzenia Pitagorasa wynika ważna tożsamość, zwana potocznie „jedynką trygonometryczną”, która jest spełniona dla każdej wartości kąta αalfa:

${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1.$