Nierównością kwadratową z niewiadomą $x$ nazywamy każdą nierówność postaci:

$a{x}^2+bx+c>0$ lub $a{x}^2+bx+c\ge 0$, lub $a{x}^2+bx+c<0$, lub $a{x}^2+bx+c\le 0$,

gdzie:
$a$, $b$, $c$ – są ustalonymi liczbami rzeczywistymi i $a\ne 0$.

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej $f\left(x\right)=x^2-5x+6$ odczytamy, dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich wartości funkcji są ujemne.

R1U5TOdcMgvys

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią $X$ od minus trzech do siedmiu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi ku górze. Parabola przecina poziomą oś w punktach o współrzędnych: $\left(2;0\right), \left(3;0\right)$.

Miejsca zerowe funkcji $f$ odczytujemy z wykresu funkcji- są to  takie argumenty, dla których wartość funkcji jest równa zero.

$f\left(x\right)=0\iff x^2-5x+6=0$

$x_1=2$, $x_2=3$

$f\left(x\right)=0\iff x=2$ lub $x=3$

Pod osią $X$ znajdują się takie punkty należące do wykresu funkcji $f$, których druga współrzędna jest ujemna. Zapisujemy odpowiednią nierówność.

$f\left(x\right)<0\iff x\in (2,3)x^2-5x+6<0\iff x\in (2,3)$

Nad osią $X$ znajdują się takie punkty należące do wykresu funkcji $f$, których druga współrzędna jest dodatnia.

$f\left(x\right)>0\iff x\in (-\mathrm{\infty },2)\cup (3,\mathrm{\infty })x^2-5x+6>0\iff x\in (-\mathrm{\infty },2)\cup (3,\mathrm{\infty })$.

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej $g\left(x\right)=-(x-3)(x+2)$ odczytamy, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartość zero, dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich wartości funkcji są ujemne.

R1LXhf5aczVDf

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w dół. Parabola przecina poziomą oś w punktach o współrzędnych: $\left(-2;0\right), \left(3;0\right)$ oraz pionową oś w punkcie o współrzędnych $\left(0;6\right)$.

Odczytujemy z wykresu miejsca zerowe funkcji $g$ , czyli  pierwsze współrzędne punktów przecięcia wykresu funkcji z osią $X$.

Są to liczby $x=-2$, $x=3$.

$g\left(x\right)=0\iff x=-2$ lub $x=3$

Funkcja $g$ przyjmuje wartości dodatnie dla punktów znajdujących się na wykresie funkcji  powyżej osi $X$.

$g\left(x\right)>0\iff x\in (-2,3)-(x-3)(x+2)>0\iff x\in (-2,3)$

Funkcja $g$ przyjmuje wartości ujemne dla takich $x$, dla których $g\left(x\right)<0$.

$g\left(x\right)=-(x-3)(x+2)<0\iff x\in (-\mathrm{\infty },-2)\cup (3,\mathrm{\infty })$

Na podstawie wykresu funkcji kwadratowej $h\left(x\right)=x^2+2$ odczytamy, dla jakich argumentów funkcja $h$ przyjmuje wartość zero, dla jakich argumentów wartości funkcji są dodatnie, a dla jakich wartości funkcji są ujemne.

R1UBywT9OAqRt

Ilustracja przedstawia wykres z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano parabolę z ramionami skierowanymi w górę. Parabola znajduje się tylko w pierwszej i w drugiej ćwiartce i nie przecina osi poziomej. Wierzchołek paraboli znajduje się w  punkcie o współrzędnych $\left(0;2\right)$.

Wykres funkcji  $h$ nie przecina osi $X$, zatem funkcja  nie posiada miejsc zerowych.

$h\left(x\right)=0\iff x\in \varnothing x^2+2=0\iff x\in \varnothing$

Funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla każdego $x\in \mathrm{ℝ}$, ponieważ cały wykres funkcji znajduje się powyżej osi $X$.

$h\left(x\right)>0\iff x\in ℝx^2+2>0\iff x\in ℝ$

Funkcja nie przyjmuje wartości ujemnych.

$h\left(x\right)<0\iff x\in \varnothing x^2+2<0\iff x\in \varnothing$

Odczytywanie, dla jakich argumentów funkcja przyjmuje wartości dodatnie lub ujemne jest pomocne  w  rozwiązaniu odpowiednich nierówności.

jest to każda nierówność postaci:

$a{x}^2+bx+c>0$ lub $a{x}^2+bx+c\ge 0$ lub $a{x}^2+bx+c<0$ lub $a{x}^2+bx+c\le 0$

gdzie:
$a$, $b$, $c$ – są dowolnymi liczbami rzeczywistymi i $a\ne 0$