Poniżej przedstawiamy najważniejsze przykłady przekrojów ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego: płaszczyzną równoległą do podstawy; płaszczyzną prostopadłą do podstawy oraz płaszczyzną nachyloną do podstawy pod innym kątem. Zwróć uwagę na część wspólną bryły i płaszczyzny przechodzącej przez ostrosłup.
Przekrój jest trójkątem równoramiennym, którego ramionami są krawędzie boczne ostrosłupa a podstawa pokrywa się z dłuższą przekątną podstawy i ma długość , gdzie jest długością krawędzi podstawy ostrosłupa.
Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną prostopadłą do podstawy zawierający krawędzie boczne i krótszą przekątną podstawy
RHi7jCJvGTaiK
Przekrój jest trójkątem równoramiennym o podstawie długości i ramionach długości , gdzie jest długością krawędzi podstawy ostrosłupa a - długością jego krawędzi bocznej.
Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną prostopadłą do podstawy zawierający wysokości przeciwległych ścian bocznych
R1RbGAKwcSpXi
Przekrój jest trójkątem równoramiennym, którego ramionami są wysokości ścian bocznych a podstawa ma długość , gdzie jest długością krawędzi podstawy ostrosłupa.
Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy
R1YwUrv1RQLR5
Przekrój ten jest sześciokątem foremnym.
Przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego płaszczyzną przechodzącą przez dłuższą przekątną podstawy i nachyloną do niej pod kątem
RHVDCvUFzSyr5
Przekrój ten jest trapezem równoramiennym, którego podstawą jest dłuższa przekątna sześciokąta foremnego o długości , gdzie jest długością krawędzi podstawy ostrosłupa.
RKKXZwVb9ag7n
Przekrój ten jest trójkątem równoramiennym, którego podstawą jest krótsza przekątna sześciokąta foremnego o długości , gdzie jest długością krawędzi podstawy ostrosłupa.
R56jkdvkjmWcq
Przekrój ten jest pięciokątem, którego jeden z boków pokrywa się z krótszą przekątną podstawy i ma długość , gdzie jest długością krawędzi podstawy ostrosłupa.
Przykład 1
Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Kąt pomiędzy wysokościami przeciwległych ścian bocznych wynosi . Obliczymy pole przekroju ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego wyznaczonego przez te wysokości, wiedząc, że krawędź podstawy ma długość .
Rozwiązanie
Wykonajmy rysunek pomocniczy:
RvToziPIbj7HG
Naszym zadaniem jest więc policzenie pola wyznaczonego trójkąta równoramiennego. Jego podstawa ma długość , gdyż jest równa długości krótszej przekątnej sześciokąta foremnego (dwie długości wysokości trójkąta równobocznego o boku długości ).
Obliczymy długości jego ramion wykorzystując twierdzenie cosinusów:
.
Ze wzorów redukcyjnych mamy:
.
Zatem:
.
Wysokości ścian bocznych mają długość .
Policzymy pole naszego przekroju. W tym celu wykorzystamy wzór na pole trójkąta:
.
Przykład 2
Narysowany przekrój ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest trójkątem równobocznym o boku długości . Obliczymy objętość ostrosłupa.
ReVqdiTaX5rfc
Rozwiązanie
Podstawa naszego przekroju jest jednocześnie krótszą przekątną sześciokąta foremnego. Oznaczmy jako – długość boku sześciokąta foremnego.
Wówczas:
.
Obliczmy teraz wysokość ostrosłupa. Wykonajmy rysunek pomocniczy:
R1cEpVZYpp3by
Z twierdzenia Pitagorasa mamy:
.
Obliczmy więc pole podstawy:
.
Objętość ostrosłupa wynosi wówczas:
.
Przykład 3
Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny, w którym tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawykąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnegokąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi . Obliczmy miarę kąta przy wierzchołku trójkąta, który jest przekrojem tego ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wysokości przeciwległych ścian bocznych.
Kąt przy wierzchołku trójkąta, który jest przekrojem ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wysokości przeciwległych ścian bocznych, jest prosty.
Przykład 4
Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny, w którym wysokość jest równa połowie długości krótszej przekątnej podstawy. Pole przekroju wyznaczonego przez przeciwległe krawędzie boczne wynosi . Oblicz sinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
Rozwiązanie:
Oznaczmy jako długość krawędzi podstawy. Wówczas krótsza przekątna sześciokąta foremnego ma długość , a wysokość ostrosłupa .
Narysujemy przekrój naszej bryły:
RYnq7TSR3SRXP
Z zadania wiemy, że pole przekroju wyznaczonego przez przeciwległe krawędzie boczne wynosi .
Układamy zatem równanie:
.
Wysokość ostrosłupa ma więc długość .
Naszym zadaniem jest obliczyć wartość funkcji . Musimy więc mieć długość krawędzi bocznej. Wykorzystajmy twierdzenie Pitagorasa:
.
Zatem .
Przykład 5
Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny. Stosunek długości krawędzi bocznej do długości krawędzi podstawy wynosi . Oblicz cosinus kąta przy wierzchołku trójkąta będącego przekrojem ostrosłupa płaszczyzną przechodzącą przez wysokości dwóch sąsiednich ścian bocznych.
Rozwiązanie
Wykonajmy rysunek:
R1PBDSlaX8ljb
Naszym przekrojem jest trójkąt . Długość jego podstawy możemy policzyć, wykorzystując trójkąt . Kąt wewnętrzny sześciokąta foremnego ma miarę , zatem:
RkOQS3qwxtKMe
Poprowadźmy wysokość tego trójkąta:
RxwZx9N5q1N0s
Zatem .
Obliczmy teraz wysokości ścian bocznych. Wykorzystując trójkąt prostokątny mamy:
.
Mamy już wszystkie potrzebne wielkości do obliczenia cosinusa kąta przy wierzchołku trójkąta . Wykorzystajmy twierdzenie cosinusów:
.
Słownik
ostrosłup prawidłowy sześciokątny
ostrosłup prawidłowy sześciokątny
ostrosłup prosty, w którego podstawie jest sześciokąt foremny
przekrój bryły
przekrój bryły
figura płaska powstająca przy przecięciu bryły płaszczyzną
kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
kąt pomiędzy krawędzią boczną a dłuższą przekątną podstawy
kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
kąt nachylenia wysokości do ściany bocznej ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego
kąt pomiędzy wysokością ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego a wysokością ściany bocznej poprowadzonej z wierzchołka ostrosłupa