Zbudujemy w trójkącie Pascala wiersz nr $8$.

Zauważmy, że w każdym kolejnym wierszu trójkąta Pascalatrójkąt Pascalatrójkąta Pascala znajduje się o jedna liczba więcej niż w wierszu go poprzedzającym. Zatem wiersz ósmy zbudowany będzie z $9$ liczb. Początkowa i końcowa liczba to $1$. Znajdujemy „środkowe” liczby, jako sumy liczb z wiersza nr $7$.

RBIIkZW6V3juV

Ilustracja przedstawia siódmy i ósmy wiersz trójkąta Pascala, przy czym pokazano tu konstrukcję wiersza ósmego w oparciu o wiersz siódmy za pomocą strzałek i dodawania. Wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1. Wiersz ósmy: 1 8 28 56 70 56 28 8 1. Zauważmy, że każdy wiersz jest symetryczny, zatem w oparciu o tę cechę opiszemy konstrukcję w sposób uproszczony. Z wiersza siódmego poprowadzono strzałki opatrzone plusem od 1 i 7 zarówno z lewej , jak i z prawej strony do pól wiersza ósmego z ósemką. Z pól 7 i 21 poprowadzono strzałki z plusem między strzałkami do pola 28, z pól 21 i 35 poprowadzono strzałki do pola z liczbą 56 oraz ze środkowych pól poprowadzono strzałki do pola z liczbą 70 w wierszu ósmym.

Wiersz nr $8$ składa się z liczb: $1$, $8$, $28$, $56$, $70$, $56$, $28$, $8$, $1$.

Liczby w trójkącie Pascala ułożone są symetrycznie.

R1HtYqmShphys

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. W każdym wierszu znajdują się kwadratowe pola z wpisanymi liczbami, przy czym każdy kolejny wiersz posiada o jedno pole więcej od poprzedniego. Na ilustracji podkreślono symetrię, dodając kolorowe tło w polach, symetrycznych danego wiersza. Tylko w wierszach, w których występuje nieparzysta ilość pól mamy pojedyncze środkowe pola, które nie są symetryczne. Wiersz zerowy: 1 - to pole jest niesymetryczne, wiersz pierwszy: 1 1 - pola są symetryczne, wiersz drugi: 1 2 1 - jedynki są symetryczne, wiersz trzeci: 1 3 3 1 - 1 3 jest symetryczne do 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1 - 1 4 jest symetryczne do 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 5 1 - 1 5 jest symetryczne do 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1 - 1 6 15 jest symetryczne do 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1 - 1 7 21 35 jest symetryczne do 35 21 7 1.

Na pierwszej „przekątnej” trójkąta Pascala leżą jedynki, na drugiej „przekątnej” kolejne liczby naturalne, na trzeciej – kolejne liczby trójkątne.

RtfGpl33xWs4t

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. Wiersz zerowy: 1, wiersz pierwszy: 1 1, wiersz drugi: 1 2 1 wiersz trzeci: 1 3 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1. Wszystkie jedynki z lewej strony, czyli pierwsze pola każdego wiersza wyróżniono kolorem i opisano jako jedynki. Następnie wszystkie drugie wyrazy każdego wiersza wyróżniono kolorem i opisano jako kolejne liczby naturalne bez zera. Są to, rozpoczynając od drugiego wiersza: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Następnie kolorem wyróżniono wszystkie trzecie wyrazy każdego wiersza, zaczynając od trzeciego wiersza i opisano je jako liczby trójkątne. Są to kolejni: 1, 3, 6, 10, 15, 21.

Znajdziemy siódmą liczbę trójkątną, korzystając z trójkąta Pascala.

Korzystamy z powyższego rysunku. Odczytujemy, że kolejne liczby trójkątne to: $1$, $3$, $6$, $10$, $15$, $21$.

Zauważamy, że:

$3-1=2$

$6-3=3$

$10-6=4$

$15-10=5$

$21-15=6$

Zatem kolejne liczby trójkątne różnią się o kolejne liczby naturalne. Siódma liczba trójkąta, będzie różniła się od szóstej o $7$.

$21+7=28$

Siódma liczba trójkątna to $28$.

Sumy liczb stojących w kolejnych wierszach trójkąta Pascala tworzą kolejne potęgi liczby $2$.

RotIs5kr6ZiEw

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. Obok każdego wiersza umieszczono potęgę dwójki będącą jednocześnie sumą wyrazów danego wiersza. Wiersz zerowy: 1, zerowa potęga dwójki wynosi 1, wiersz pierwszy: 1 1, pierwsza potęga dwójki wynosi 2, wiersz drugi: 1 2 1, druga potęga dwójki wynosi 4, wiersz trzeci: 1 3 3 1, trzecia potęga dwójki wynosi 8, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, czwarta potęga dwójki wynosi 16, wiersz piąty: 1 5 10 5 1, piąta potęga dwójki wynosi 32, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, szósta potęga dwójki wynosi 64, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1, siódma potęga dwójki wynosi 128.

Obliczymy sumę $S$ liczb w wierszu o numerze $10$ trójkąta Pascala.

Wiemy, że suma ta będzie równa $10$ potędze liczby $2$.

$S=2^{10}=1024$.

Porównaj kwadrat liczby zaznaczonej na fioletowo z sumą liczb zaznaczonych na żółto.

Porównaj kwadrat liczby zaznaczonej na zielono z sumą liczb zaznaczonych na niebiesko.

Zbadaj podobne zależności dla liczb $4$ i $6$.

Co zauważasz?

R1L5JgiKT4LTK

Ilustracja przedstawia trójkąt Pascala składający się z ośmiu wierszy ponumerowanych od zera do siedmiu. Wiersz zerowy: 1, wiersz pierwszy: 1 1, wiersz drugi: 1 2 1 wiersz trzeci: 1 3 3 1, wiersz czwarty: 1 4 6 4 1, wiersz piąty: 1 5 10 5 1, wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 21 35 35 21 7 1. Na fioletowo zaznaczono wyraz drugi z wiersza czwartego, czyli trójkę. Na żółto zaznaczono wyraz trzeci z wiersza trzeciego, czyli trójkę oraz wyraz trzeci z wiersza czwartego, czyli szóstkę. Na zielono zaznaczono wyraz drugi z wiersza piątego, czyli piątkę. Na niebiesko zaznaczono wyraz trzeci z wiersza piątego, czyli dziesiątkę oraz wyraz trzeci z wiersza szóstego, czyli piętnastkę.

Kwadrat liczby zapisanej na drugiej „przekątnej” trójkąta Pascala (za wyjątkiem liczby $1$) jest równy sumie kolejnej liczby stojącej obok w tym samym wierszu i liczby stojącej poniżej obu tych liczb.

Jeśli pierwszym elementem wiersza w trójkącie Pascala, różnym od $1$, jest liczba pierwsza, to wszystkie pozostałe liczby w tym wierszu (za wyjątkiem $1$), będą przez nią podzielne.

Sprawdźmy, czy liczby w wierszu o numerze $7$ spełniają własność $5$.

Rlftwwf87YM3u

Ilustracja przedstawia wiersz szósty i siómy z trójkąta Pascala. Wiersz szósty: 1 6 15 20 15 6 1, wiersz siódmy: 1 7 (siódemka zaznaczona na niebiesko) 21 35 35 21 7 1.

Pierwszym elementem tego wiersza, różnym od $1$ jest $7$. Pozostałe liczby różne od $1$ to: $21$, $35$, $35$, $21$, $7$.

Oczywiście każda z nich dzieli się przez $7$. Zatem liczby z tego wiersza spełniają własność $5$.

Suma liczb leżących na przekątnej trójkąta (przy czym nie musi to być cała przekątna) jest równa liczbie, leżącej poniżej na przeciwnej przekątnej.

RGz10iL5PyJOf

Ilustracja przedstawia osiem pierwszych wierszy trójkąta Pascala - od zerowego do siódmego. Wyrazy zaznaczone na niebiesko układają się w pionowy łuk wybrzuszony w prawo. Są to: wyraz pierwszy z wiersza drugiego, czyli 1, wyraz drugi z wiersza trzeciego, czyli 3, wyraz trzeci z wiersza czwartego, czyli 6 oraz wyraz drugi z wiersza piątego, czyli 10. Pod trójkątem na niebieskim polu zapisano następującą sumę: 1 dodać 3 dodać 6 równa się 10. Wyrazy zaznaczone na różowo układają się w pionowy łuk wybrzuszony w lewo. Są to: wyraz piąty z wiersza czwartego, czyli 1, wyraz piąty z wiersza piątego, czyli 5, wyraz piąty z wiersza szóstego, czyli 15 oraz wyraz szósty z wiersza siódmego, czyli 21. Pod trójkątem na różowym polu zapisano następującą sumę: 1 dodać 5 dodać 15 równa się 21.

trójkątna tablica liczb; w pierwszym wierszu tej tablicy znajduje się liczba $1$, w następnym – dwie jedynki; w kolejnych wierszach jedynki umieszczone są na początku i końcu każdego wiersza; każda liczba „środkowa” jest sumą dwóch liczb bezpośrednio znajdujących się nad nią