Jeśli funkcje $f,g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$, to w punkcie $x\in A$ istnieje również pochodna sumy funkcji $f+g$suma funkcji $f+g$sumy funkcji $f+g$ oraz

Wyznaczymy pochodną funkcji $h(x)=x^4+x^6$.

Rozwiązanie

Korzystając z powyższego twierdzenia dla funkcji $f\left(x\right)=x^4$ i $g\left(x\right)=x^6$ oraz z wzoru na pochodną funkcji potęgowej, otrzymamy $h'(x)=\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)'=\left(x^4+x^6\right)'=\left(x^4\right)'+\left(x^6\right)'=4x^3+6x^5$

Wyznaczymy pochodną sumy funkcji postaci $f\left(x\right)=\sqrt{x}$ i $g\left(x\right)=\frac{1}{x^9}$ dla $x\gt 0$.

Rozwiązanie

Skorzystamy z powyższego twierdzenia oraz z wzoru opisującego pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym. Wówczas $\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)'=\left(\sqrt{x}+\frac{1}{x^9}\right)'=\left(\sqrt{x}\right)'+\left(\frac{1}{x^9}\right)'=\left(x^{\frac12}\right)'+\left(x^{-9}\right)'=$

$=\frac12\cdot x^{\frac12-1}+\left(-9\right)\cdot x^{-9-1}=\frac12 x^{-\frac12}-9x^{-10}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{9}{x^{10}}$.

Jeśli funkcje $f,g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$, to w punkcie $x\in A$ istnieje także pochodna różnicy funkcji $f-g$różnica funkcji $f-g$różnicy funkcji $f-g$ oraz

Wyznaczymy pochodną funkcji $\sqrt[3]{x}-\frac{1}{x}$ dla $x\neq 0$.

Rozwiązanie

Wykorzystamy powyższe twierdzenie. Pochodną różnicy funkcji w punkcie można wyrazić jako różnicę pochodnych tych funkcji, zatem dla funkcji $f\left(x\right)=\sqrt[3]{x}$ i $g\left(x\right)=\frac1x$, dostaniemy
$\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)'=$
$=\left(\sqrt[3]{x}-\frac{1}{x}\right)'=$
$=\left(\sqrt[3]{x}\right)'-\left(\frac{1}{x}\right)'=$
$=\left(x^{\frac13}\right)'-\left(x^{-1}\right)'=$$\frac{1}{3}\cdot x^{\frac{1}{3}-1}-\left(-1\right)\cdot x^{-1-1}=$ $= \frac13 x^{-\frac23}+x^{-2}=\frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}}+\frac{1}{x^2}$.

Jeśli funkcje $f_1,f_2,\ldots,f_n\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, $n\in\mathbb{N}$, są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$, to w punkcie $x\in A$ istnieje również pochodna funkcji $f_1\pm f_2\pm\ldots\pm f_n$ oraz

Wyznaczymy pochodną funkcji $x^7-\frac{1}{x^4}+\sqrt[4]{x}$ dla $x\gt0$.

Rozwiązanie

Skorzystamy z wprowadzonej wyżej własności. Wówczas
$\left(x^7-\frac{1}{x^4}+\sqrt[4]{x}\right)'=$
$=\left(x^7\right)'-\left(\frac{1}{x^4}\right)'+\left(\sqrt[4]{x}\right)'=$
$=\left(x^7\right)'-\left(x^{-4}\right)'+\left(x^\frac14\right)'=$
$=7x^6-\left(-4\right)\cdot x^{-4-1}+\frac14 x^{\frac14-1}=$
$=7x^6+4x^{-5}+\frac14 x^{-\frac34}=$
$=7x^6+\frac{4}{x^5}+\frac{1}{4\sqrt[4]{x^3}}$.

Jeżeli funkcje $f,g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$, to w punkcie $x\in A$ istnieje również pochodna iloczynu funkcji $f\cdot g$iloczyn funkcji $f\cdot g$iloczynu funkcji $f\cdot g$ oraz

Jeśli funkcja $f\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, jest różniczkowalna w dowolnym punkcie $x\in A$ oraz $a\in\mathbb{R}$, to w punkcie $x\in A$ istnieje również pochodna iloczynu $a\cdot f$ oraz

Wyznaczymy pochodną funkcji $g(x)=6x^4$.

Rozwiązanie

Zgodnie z wprowadzonym powyżej wzorem, stałą $a=6$ możemy wyłączyć przed znak pochodnej. Zatem dla $f\left(x\right)=x^4$, uzyskamy $g'(x)=\left(a\cdot f\left(x\right)\right)'=\left(6\cdot x^4\right)'=6\cdot \left(x^4\right)'=6\cdot 4x^3=24x^3$.

Wyznaczymy pochodną iloczynu funkcji postaci $x^3\cdot \sqrt{x}$.

Rozwiązanie

Stosując wprowadzony powyżej wzór dla funkcji $f\left(x\right)=x^3$ i $g\left(x\right)=\sqrt{x}$, pochodna iloczynu $x^3\cdot \sqrt{x}$ będzie postaci $\left(f\left(x\right)\cdot g\left(x\right)\right)'=\left(x^3\cdot\sqrt{x}\right)'=\left(x^3\right)'\cdot \sqrt{x}+x^3\cdot \left(\sqrt{x}\right)'=$$=3x^2\cdot\sqrt{x}+x^3\cdot\frac12 x^{\frac12-1}=3x^\frac52+\frac12 x^\frac52=\frac72x^\frac52=\frac{7\sqrt{x^5}}{2}$.

Wyznaczymy pochodną funkcji $f(x)=6x^3-2x^2+5\sqrt[5]{x}-\frac{3}{x^{12}}$ dla $x\neq0$.

Rozwiązanie

Wykorzystując przedstawione twierdzenia dotyczące pochodnych sumy funkcji, różnicy funkcji oraz iloczynu funkcji przez stałą, otrzymamy $f'(x)=\left(6x^3-2x^2+5\sqrt[5]{x}-\frac{3}{x^{12}}\right)'=$
$=\left(6x^3\right)'-\left(2x^2\right)'+\left(5\sqrt[5]{x}\right)'-\left(\frac{3}{x^{12}}\right)'=$ $=6\cdot\left(x^3\right)'- 2\cdot\left(x^2\right)'+5\left(\sqrt[5]{x}\right)'-3\left(\frac{1}{x^{12}}\right)'=$ $=6\cdot\left(x^3\right)'- 2\cdot\left(x^2\right)'+5\left(x^\frac15\right)'-3\left(x^{-12}\right)'=$ $=6\cdot 3x^2-2\cdot 2x+5\cdot\frac15 x^{\frac15-1}-3\cdot \left(-12\right) x^{-12-1}=$$=18x^2-4x+x^{-\frac45}+36x^{-13}=18x^2-4x+\frac{1}{\sqrt[5]{x^4}}+\frac{36}{x^{13}}$.

Jeżeli funkcje $f,g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, są różniczkowalne w dowolnym punkcie $x\in A$ i $g\left(x\right)\neq0$ dla $x\in A$, to istnieje pochodna ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$iloraz funkcji $\frac{f}{g}$ilorazu funkcji $\frac{f}{g}$ oraz

Wyznaczymy pochodną funkcji $\frac{x^6}{\sqrt{x^3}}$ dla $x\neq0$.

Rozwiązanie

Stosując wzór na pochodną ilorazu dla funkcji $f\left(x\right)=x^6$ i $g\left(x\right)=\sqrt{x^3}$, dostaniemy $\left(\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right)'=\left(\frac{x^6}{\sqrt{x^3}}\right)'=\frac{\left(x^6\right)'\cdot\sqrt{x^3}-x^6\cdot\left(\sqrt{x^3}\right)'}{\left(\sqrt{x^3}\right)^2}=$$=\frac{6x^5\cdot x^{\frac32}-x^6\cdot\frac32 x^{\frac32-1}}{\left(x^\frac32\right)^2}=\frac{6x^\frac{13}{2}-\frac32x^\frac{13}{2}}{x^3}=\frac{\frac92x^\frac{13}{2}}{x^3}=\frac{9\sqrt{x^{13}}}{2x^3}$.

Wyznaczymy pochodną funkcji $f(x)=\frac{6x^7+x^2}{5x^3-x}$.

Rozwiązanie

Korzystając z własności arytmetycznych pochodnej, otrzymamy $f'(x)=\left(\frac{6x^7+x^2}{5x^3-x}\right)'=\frac{\left(6x^7+x^2\right)'\cdot\left(5x^3-x\right)-\left(6x^7+x^2\right)\cdot\left(5x^3-x\right)'}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{\left(\left(6x^7\right)'+\left(x^2\right)'\right) \cdot\left(5x^3-x\right)-\left(6x^7+x^2\right)\cdot\left(\left(5x^3\right)'-x'\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{\left(6\cdot7x^6+2x\right)\left(5x^3-x\right)-\left(6x^7+x^2\right)\left(5\cdot 3x^2-1\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{\left(42x^6+2x\right)\left(5x^3-x\right)-\left(6x^7+x^2\right)\left(15x^2-1\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{\left(210x^9-42x^7+10x^4-2x^2\right)-\left(90x^9-6x^7+15x^4-x^2\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{210x^9-42x^7+10x^4-2x^2-90x^9+6x^7-15x^4+x^2}{\left(5x^3-x\right)^2}=$
$=\frac{120x^9-36x^7-5x^4-x^2}{\left(5x^3-x\right)^2}=\frac{x^2\left(120x^7-36x^5-5x^2-1\right)}{\left(5x^3-x\right)^2}$.

to funkcja $f+g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, zdefiniowana jako

dla wszystkich $x\in A$

to funkcja $f-g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, zdefiniowana jako

dla wszystkich $x\in A$

to funkcja $f\cdot g\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, zdefiniowana jako

dla wszystkich $x\in A$

to funkcja $\frac{f}{g}\ \colon\ A\to\mathbb{R}$, gdzie $A\subset\mathbb{R}$, zdefiniowana jako

dla wszystkich $x\in A$