Przeczytaj
Podamy teraz przykłady ciągów arytmetycznych skończonych i nieskończonych. Nim przejdziemy do nowych zagadnień, przypomnienie definicji ciągu arytmetycznego.
Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu.
Jeżeli jest ciągiem arytmetycznym o różnicy , to dla dowolnej liczby naturalnej prawdziwa jest równość:
W tym materiale przyjmować będziemy, że ciąg arytmetyczny określony jest dla, a w niektórych przypadkach dla .
Ciągi arytmetyczne podzbiorów zbioru liczb naturalnych
Rozważymy na początek ciągi arytmetyczne, których wyrazy są liczbami naturalnymi.
Przykładami takich ciągów, które w ostatnich latach wzbudzają ogromne zainteresowanie matematyków, są ciągi, których wyrazy są liczbami pierwszymi, np.:
, , , , – ciąg o różnicy
, , – ciąg o różnicy
, , , – ciąg o różnicy
, , , , , – ciąg o różnicy
Ciąg kolejnych liczb naturalnych dodatnich: , , , , jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie i różnicy .
Ciąg ten można opisać worem ogólnym:
Przedstawiając graficznie n początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu, można szybko obliczyć ich sumę.
.
Ciąg kolejnych liczb naturalnych nieparzystych: , , , , , , jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie i różnicy .
Ciąg ten można opisać worem ogólnym:
Interpretując graficznie sumę n kolejnych liczb nieparzystych możemy zapisać, że:
.
Ciąg kolejnych liczb naturalnych parzystych: , , , , , , jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie i różnicy .
Na podstawie interpretacji graficznej sumy kolejnych liczb parzystych, możemy zapisać:
.
Ciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny tworzą liczby naturalne dodatnie, większe od , które w dzieleniu przez dają resztę . Zapiszemy wzór ogólny tego ciągu. Obliczymy setny wyraz tego ciągu.
Kolejne wyrazy tego ciągu to:
, , , , , , ,
Ustalamy pierwszy wyraz i różnicę ciągu.
Zapisujemy wzór na wyraz ogólny ciągu.
Obliczamy setny wyraz ciągu.
.
Ciągi arytmetyczne przedstawione graficznie
Ciągi arytmetyczne można tworzyć, konstruując odpowiednie figury geometryczne i opisując ich elementy za pomocą liczb.
Figury na rysunku tworzone są według pewnej reguły. Liczbę figur możemy zwiększać dowolnie.
Zauważmy, że na kolejnych rysunkach ilość kratek wrzosowych zwiększa się o .
Liczby kratek: , , , , można uznać za kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie i różnicy .
Wzór ogólny ciągu:
.
Kolejny przykład figur tworzonych według ustalonej reguły, pozwalającej uznać liczy kratek za kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Liczbę figur można zwiększać dowolnie.
Liczby elementów kolejnych figur zwiększają się o . Wzór ogólny ciągu:
.
Ciągi arytmetyczne w kontekście realistycznym
W życiu codziennym często spotykamy się z sytuacjami powtarzającymi się cyklicznie, które można opisać za pomocą ciągów arytmetycznych.
Na przykład:
co dni jest czwartek,
co miesięcy jest styczeń.
temperatura powietrza wzrasta o w głąb ziemi co około .
Komety okresowe, to komety, których okres obiegu wokół Słońca jest mniejszy od lat.
Najbardziej znane to Encke (okres obiegu wokół Słońca to ok. roku), Faye (z rodziny komet Jowisza) i oczywiście kometa Halleya.
Kometa Halleya to pierwsza zidentyfikowana kometa krótkookresowa. Jej okres obiegu wokół Słońca wynosi ok. lat.
W wieku kometę obserwowano w roku. Obliczymy, ile razy będzie można zaobserwować kometę w wieku.
Daty kolejnych zbliżeń do Słońca można uznać za kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego , którego pierwszym wyrazem jest , a różnicą .
Wzór ogólny tego ciągu jest więc następujący:
Wiek rozpoczął się w , a skończy w
Rozwiązujemy więc nierówność:
Ponieważ jest liczbą naturalną, zatem .
W wieku tylko raz będzie można zaobserwować kometę. Z naszych obliczeń wynika, że w , ponieważ
Nasze obliczenia są przybliżone – naukowcy obliczyli, że prawdopodobnie kometa przyleci wcześniej – bo już w
Obliczymy jeszcze, kiedy kometa była obserwowana ostatni raz.
Ostatni raz kometę można było obserwować w roku.
Słownik
ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby , zwanej różnicą ciągu