Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Podamy teraz przykłady ciągów arytmetycznych skończonych i nieskończonych. Nim przejdziemy do nowych zagadnień, przypomnienie definicji ciągu arytmetycznego.

Ciąg arytmetyczny
Definicja: Ciąg arytmetyczny

Ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby r, zwanej różnicą ciągu.

Ważne!

Jeżeli an jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to dla dowolnej liczby naturalnej n>0 prawdziwa jest równość:

an+1=an+r

W tym materiale przyjmować będziemy, że ciąg arytmetyczny określony jest dlan+, a w niektórych przypadkach dla n.

Ciągi arytmetyczne podzbiorów zbioru liczb naturalnych

Rozważymy na początek ciągi arytmetyczne, których wyrazy są liczbami naturalnymi.

Przykładami takich ciągów, które w ostatnich latach wzbudzają ogromne zainteresowanie matematyków, są ciągi, których wyrazy są liczbami pierwszymi, np.:

  • 5, 11, 17, 23, 29 – ciąg o różnicy 6

  • 3, 13, 23 – ciąg o różnicy 10

  • 23, 53, 83, 113 – ciąg o różnicy 30

  • 13, 103, 193, 283, 373, 463 – ciąg o różnicy 90

Przykład 1

Ciąg an kolejnych liczb naturalnych dodatnich: 1, 2, 3, 4, ... jest nieskończonym ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie 1 i różnicy 1.

Ciąg ten można opisać worem ogólnym:

an=n

R11oVz2X1yDPT

Przedstawiając graficznie n  początkowych  kolejnych wyrazów tego ciągu, można szybko obliczyć ich sumę.

1+2=3=2·32

1+2+3=6=3·42

...

...

1+2+3+...+10=10·112=55

...

1+2+3+...+n=nn+12.

Przykład 2

Ciąg bn kolejnych liczb naturalnych nieparzystych: 1, 3, 5, 7, ..., 2n-1, ... jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie 1 i różnicy 2.

Ciąg ten można opisać worem ogólnym:

bn=2n-1

R1QYLM3s4xHtf

Interpretując graficznie sumę n kolejnych liczb nieparzystych możemy zapisać, że:

1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

...

...

1+3+5+7+...+2n-1=n2.

Przykład 3

Ciąg cn kolejnych liczb naturalnych parzystych: 2, 4, 6, 8, ..., 2n, ... jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie 2 i różnicy 2.

RrroJqkXmRwlM

Na podstawie interpretacji graficznej sumy kolejnych liczb parzystych, możemy zapisać:

2=1·2

2+4=6=2·3

2+4+6=12=3·4

2+4+6+8=20=4·5

...

...

2+4+6+...+2n=nn+1.

Przykład 4

Ciąg arytmetycznyciąg arytmetycznyCiąg arytmetyczny an tworzą liczby naturalne dodatnie, większe od 1, które w dzieleniu przez 3 dają resztę 1. Zapiszemy wzór ogólny tego ciągu. Obliczymy setny wyraz tego ciągu.

Kolejne wyrazy tego ciągu to:

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ...

Ustalamy pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

a1=4

r=7-4=3

Zapisujemy wzór na wyraz ogólny ciągu.

an=4+n-1·3=4-3+3n=3n+1

Obliczamy setny wyraz ciągu.

a100=3·100+1=301.

Ciągi arytmetyczne przedstawione graficznie

Ciągi arytmetyczne można tworzyć, konstruując odpowiednie figury geometryczne i opisując ich elementy za pomocą liczb.

Przykład 5

Figury  na rysunku tworzone są według pewnej reguły. Liczbę figur możemy zwiększać dowolnie.

RzSCH0qFZrtVL

Zauważmy, że na kolejnych rysunkach ilość kratek wrzosowych  zwiększa się o 2.

Liczby kratek: 6, 8, 10, 12, ... można uznać za kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie 6 i różnicy 2.

Wzór ogólny ciągu:

an=6+n-1·2

an=2n+4.

Przykład 6

Kolejny przykład figur tworzonych według ustalonej reguły, pozwalającej uznać liczy kratek za kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego. Liczbę figur można zwiększać dowolnie.

RPvimSUYzskUW

Liczby elementów kolejnych figur zwiększają się o 3. Wzór ogólny ciągu:

an=3+n-1·3=3n.

Ciągi arytmetyczne w kontekście realistycznym

W życiu codziennym często spotykamy się z sytuacjami powtarzającymi się cyklicznie, które można opisać za pomocą ciągów arytmetycznych.

Na przykład:

  • co 7 dni jest czwartek,

  • co 12 miesięcy jest styczeń.

  • temperatura powietrza wzrasta o 1°C w głąb ziemi co około 33 m.

Przykład 7

Komety okresowe, to komety, których okres obiegu wokół Słońca jest mniejszy od 200 lat.

Najbardziej znane to Encke (okres obiegu wokół Słońca to ok. 3,3 roku), Faye (z rodziny komet Jowisza) i oczywiście kometa Halleya.

Kometa Halleya to pierwsza zidentyfikowana kometa krótkookresowa. Jej okres obiegu wokół Słońca wynosi ok. 76 lat.

XX wieku kometę obserwowano w 1910 roku. Obliczymy, ile razy będzie można zaobserwować kometę w XXI wieku.

Daty kolejnych zbliżeń do Słońca można uznać za kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego an, którego pierwszym wyrazem jest 1910, a różnicą 76.

Wzór ogólny tego ciągu jest więc następujący:

an=1910+n-1·76

Wiek XXI rozpoczął się w 2001 r., a skończy w 2100 r.

Rozwiązujemy więc nierówność:

20011910+n-1·762100

9176n-76190

16776n266

2,19...n3,5

Ponieważ n jest liczbą naturalną, zatem n=3.

XXI wieku tylko raz będzie można zaobserwować kometę. Z naszych obliczeń wynika, że w 2062 r., ponieważ

1910+3-1·76=2062

Nasze obliczenia są przybliżone – naukowcy obliczyli, że prawdopodobnie kometa przyleci wcześniej – bo już w 2061 r.

Obliczymy jeszcze, kiedy kometa była obserwowana ostatni raz.

1910+76=1986

Ostatni raz kometę można było obserwować w 1986 roku.

Słownik

ciąg arytmetyczny
ciąg arytmetyczny

ciągiem arytmetycznym nazywamy ciąg liczbowy co najmniej trzywyrazowy, w którym każdy wyraz, począwszy od drugiego, powstaje przez dodanie do wyrazu poprzedniego liczby r, zwanej różnicą ciągu