Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Wykres funkcji wykładniczejfunkcja wykładniczafunkcji wykładniczej określonej wzorem fx=ax, gdzie a0,11, oraz x, możemy dowolnie przekształcać na przykład względem osi układu współrzędnych.

przekształcenie wykresu funkcji fx+q
Definicja: przekształcenie wykresu funkcji fx+q

Przekształcenie wykresu funkcji fx+q oznacza przesunięcie wykresu funkcji fxq jednostek w górę dla q>0 lub q jednostek w dół dla q<0.

Rozpatrzmy funkcje określone wzorami fx=13x oraz gx=13x-1.

Tabele wartości tych funkcji dla niektórych argumentów przedstawiają się następująco:

Argumenty i Wartości Funkcji

x

-2

-1

0

1

2

fx

9

3

1

13

19

Argumenty i Wartości Funkcji

x

-2

-1

0

1

2

gx

8

2

0

-23

-89

Wykresy tych funkcji naszkicujemy w jednym układzie współrzędnych:

R1ZM1JLuVA9p2

Zauważmy, że wykres funkcji g możemy otrzymać poprzez przesunięcie wykresu funkcjiprzekształcenie wykresu funkcji f(x) + qprzesunięcie wykresu funkcji f o 1 jednostkę w dół.

Porównajmy niektóre własności dla obu tych funkcji:

  • zbiorem wartości funkcji f jest przedział 0,, funkcji g przedział -1,,

  • wykres funkcji f przechodzi przez punkt o współrzędnych 0,1, zaś wykres funkcji g przez punkt o współrzędnych 0,0,

  • asymptotą wykresu funkcji f jest prosta y=0, a wykresu funkcji g prosta y=-1,

  • funkcja f nie ma miejsc zerowych, a miejscem zerowym funkcji g jest liczba 0.

Dla wykresów funkcji określonych wzorami fx=ax oraz gx=ax+q zachodzą następujące własności:

  • funkcje mają te same dziedziny, ale różne zbiory wartości,

  • wykresy mają różne asymptoty poziome,

  • przesunięcie wykres funkcji f w dół powoduje powstanie miejsca zerowego.

Przesunięcie w górę lub w dół wykresu funkcji wykładniczej nie zmienia monotoniczności tej funkcji. Funkcje przed i po przesunięciu wykresu są różnowartościowe.

Przykład 1

Naszkicujemy wykres oraz określimy kilka własności funkcji zadanej wzorem fx=12x-2.

Wykres funkcji f przedstawia się następująco:

RYA275W4mGt8C

Odczytujemy własności funkcji z wykresu:

  • zbiorem wartości tej funkcji jest przedział -2,,

  • asymptotą wykresu funkcji jest prosta y=-2,

  • punkt przecięcia z osią Y ma współrzędne 0,-1,

  • miejscem zerowym jest liczba -1,

  • funkcja jest malejąca,

  • dla argumentów mniejszych od -1 funkcja przyjmuje wartości dodatnie.

Nie każdy wykres funkcji wykładniczej po przesunięciu wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych będzie miał miejsce zerowe.

Przykład 2

Funkcje określone wzorami fx=2x+2, gx=14x+3 oraz hx=5x+1 nie mają miejsc zerowych, ponieważ ich wykresy znajdują się nad osią X układu współrzędnych.

Przykład 3

Określmy funkcję f wzorem fx=22x. Niech gx=fx-2. Wyznaczymy:

a) zbiór wartości funkcji g,

b) miejsca zerowe funkcji g.

Rozwiązania:

a) ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przez przesunięcie wykresu funkcji f2 jednostki w dół wzdłuż osi rzędnych układu współrzędnych, zatem zbiorem wartości jest przedział -2,.

b) funkcję g zapiszemy wzorem gx=22x-2.

Do wyznaczenia miejsc zerowych rozwiążemy równanie:

0=22x-2, czyli 22x=2.

Równanie możemy zapisać w postaci 2-12x=2, zatem z tego, że funkcja jest różnowartościowa

-12x=1, więc x=-2.

Miejscem zerowym funkcji g jest liczba -2.

Słownik

funkcja wykładnicza
funkcja wykładnicza

funkcja postaci fx=ax, gdzie a0,11, oraz x

przekształcenie wykresu funkcji f(x) + q
przekształcenie wykresu funkcji f(x) + q

przesunięcie wykresu funkcji fx wzdłuż osi Yq jednostek w górę lub w dół