Wyznaczymy dziedziny następujących funkcji:

1. $f\left(x\right)=-2x+5$,

2. $f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x^2-5}$,

3. $f\left(x\right)=\sqrt{x+7}$,

4. $f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x-8}}$.

Rozwiązanie:

1. W zbiorze liczb rzeczywistych możemy każdą liczbę pomnożyć przez $\left(-2\right)$ oraz do każdej liczby rzeczywistej możemy dodać liczbę $5$.
   Z tego faktu możemy wywnioskować, że dziedziną funkcji $f\left(x\right)=-2x+5$ jest zbiór $\mathrm{ℝ}$.
   Zapisujemy to $D_f=\mathrm{ℝ}$.

2. Dowolną liczbę rzeczywistą można podnieść do sześcianu i odjąć od niej liczbę $8$. Dzielenie jest możliwe tylko wtedy, gdy dzielnik jest liczbą różną od $0$.
   Jest to możliwe wtedy, gdy $x^2-5\ne 0$.
   Otrzymujemy: $x^2\ne 5$ wtedy, gdy $x\ne \sqrt{5}$ i $x\ne -\sqrt{5}$.
   Czyli dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{x^3-8}{x^2-5}$ jest zbiór $\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\right\}$.
   Możemy to zapisać: $D_f=\mathrm{ℝ}\setminus \left\{-\sqrt{5}, \sqrt{5}\right\}$.

3. We wzorze opisującym funkcję, znajduje się pierwiastek kwadratowy.
   Wiemy, że pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej.
   Stąd wnioskujemy, że wartość funkcji $f$ możemy obliczyć tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność $x+7\ge 0$, czyli $x\ge -7$.
   Dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{x+7}$ jest przedział $\left.⟨-7, \infty \right)$.
   Możemy to zapisać: $D_f=\left.⟨-7, \infty \right)$.

4. W mianowniku ułamka mamy wyrażenie umieszczone pod znakiem pierwiastka kwadratowego. Wiemy, że pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej.
   Pierwiastek kwadratowy umieszczony jest w mianowniku ułamka.  Wiadomo, że dzielenie przez $0$ jest niewykonalne w zbiorze liczb rzeczywistych.
   W celu wyznaczenia dziedziny funkcji $f$, należy rozwiązać nierówność $x-8>0$, czyli $x>8$.
   Dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x-8}}$ jest przedział $\left(8, \infty \right)$.
   Możemy to zapisać: $D_f=\left(8, \infty \right)$.

Wyznaczymy dziedzinę funkcji:

1. $f\left(x\right)=\sqrt{4-x}+\frac{7}{x+5}$,

2. $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{7-x}}{x+3}$,

3. $f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x+4}}+\frac{5}{\sqrt{x-4}}$,

4. $\left(x\right)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2+4x+4}$.

Rozwiązanie:

1. W celu wyznaczenia dziedziny funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{4-x}+\frac{7}{x+5}$, należy rozważyć dwa warunki, które musi jednocześnie spełnić liczba $x$:
   $4-x\ge 0$ i  $x+5\ne 0$.
   Zbiorem rozwiązań nierówności $4-x\ge 0$ jest przedział $\left(-\infty , 4\right.⟩$.
   Jednocześnie $x\ne -5$.
   Zapisujemy  dziedzinę funkcji $f\left(x\right)=\sqrt{4-x}+\frac{7}{x+5}$ w postaci sumy przedziałów $\left(-\infty , -5\right)\cup \left(-5, 4\right.⟩$.
   Zatem: $D_f=\left(-\infty , -5\right)\cup \left(-5, 4\right.⟩$.

2. Podobnie, jak w podpunkcie a.,  należy rozważyć dwa warunki, które musi  jednocześnie spełnić liczba $x$:
   $7-x\ge 0$ i  $x+3\ne 0$.
   Zatem dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{7-x}}{x+3}$ jest suma przedziałów
   $\left(-\infty , -3\right)\cup \left(-3, 7\right.⟩$.
   Możemy to zapisać: $D_f=\left(-\infty , -3\right)\cup \left(-3, 7\right.⟩$.

3. Wzór funkcji zapisany jest w postaci sumy dwóch ułamków. W mianownikach tych ułamków zapisane są wyrażenia pod pierwiastkami kwadratowymi. Liczba $x$ musi spełniać jednocześnie dwa warunki:
   $x+4>0$ i $x-4>0$.
   Możemy je zapisać: $x>-4$ oraz $x>4$.
   Zatem dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{2}{\sqrt{x+4}}+\frac{5}{\sqrt{x-4}}$ jest przedział $\left(4, \infty \right)$.
   Stąd $D_f=\left(4, \infty \right)$.

4. Aby wyznaczyć dziedzinę funkcji $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2+4x+4}$, należy rozpatrzyć dwa warunki, które musi spełnić jednocześnie liczba $x$:
   $x+2\ge 0$ i $x^2+4x+4\ne 0$.
   Rozwiązaniem nierówności pierwszej jest przedział $\left.⟨-2, \infty \right)$.
   Drugi warunek możemy zapisać, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia:
   ${\left(x+2\right)}^2\ne 0$ , stąd $x\ne -2$.
   Zatem dziedziną funkcji $f\left(x\right)=\frac{\sqrt{x+2}}{x^2+4x+4}$ jest przedział $\left(-2, \infty \right)$.
   Dziedzinę funkcji $f$ możemy również zapisać: $D_f=\left(-2, \infty \right)$.

Wyznacz dziedzinę funkcjidziedzina funkcji liczbowejdziedzinę funkcji:

1. $f\left(x\right)={\log }_2\left(6-2x\right)$,

2. $f\left(x\right)={\log }_{\left(x-3\right)}\left(3x-6\right)$.

Rozwiązanie:

1. Z definicji logarytmu wiemy, że aby obliczyć wartość logarytmu, liczba logarytmowana musi być liczbą rzeczywistą dodatnią.
   Wartość funkcji $f$ możemy obliczyć tylko wtedy, gdy spełniona jest nierówność
   $6-2x>0$, czyli $x<3$.
   Dziedziną funkcji $f\left(x\right)={\log }_2\left(6-2x\right)$ jest przedział $\left(-\infty , 3\right)$.
   Stąd $D_f=\left(-\infty , 3\right)$.

2. Podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią i różną od $1$.
   W celu wyznaczenia dziedziny funkcji $f$, musimy rozpatrzeć warunki dotyczące zarówno podstawy logarytmu, jak i liczby logarytmowanej. Dla przejrzystości rachunków, wyznaczymy oba zbiory osobno, a następnie wyznaczymy  dziedzinę funkcji.
   Najpierw zajmijmy się określeniem dziedziny ze względu na założenia podstawy logarytmu. Mamy zatem
   $x-3>0 \wedge x-3\ne 1$, co daje nam
   $x>3 \wedge x\ne 4$.
   Zapiszemy rozwiązanie za pomocą przedziałów $x\in \left(3,4\right)\cup \left(4,\infty \right)$.
   Teraz zajmijmy się warunkiem dotyczącym liczby logarytmowanej, która musi być nieujemną liczbą rzeczywistą. Zapiszemy
   $3x-6>0$
   $3x>6$
   $x>2$.
   Zatem ze względu na liczbę logarytmowaną $x\in \left(2,\infty \right)$.
   Zauważmy, że założenia podstawy logarytmu dają nam węższy zbiór, dla którego funkcja ma sens. Dziedzina całej funkcji jest iloczynem obu wyżej wyznaczonych zbiorów. Jako, że pierwszy zbiór zawiera się w drugim, to z rachunku zbiorów wynika, że  $D_f=\left(3,4\right)\cup \left(4,\infty \right)$.

zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których można obliczyć wartość funkcji