Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Bardzo często, gdy rozważamy wieloetapowe doświadczenie losowedoświadczenie losowedoświadczenie losowe, nie bardzo wiemy jakie wzory kombinatoryczne wykorzystać, aby określić liczbę zdarzeń elementarnych. Odwołujemy się wtedy do analogicznych, przeanalizowanych wcześniej przykładów i na ich podstawie sięgamy po dany wzór.

Jest to niezła metoda, jednak nie bardzo wiadomo jak sprawdzić, czy uzyskany wynik jest poprawny.

Zatem, gdy w grę wchodzi niewielka liczba zdarzeń do wyznaczenia, możemy posłużyć się metodami graficznymi. Nim poznamy kilka z tych metod – przypomnienie podstawowych pojęć, którymi będziemy się posługiwać.

Doświadczenie losowe
Definicja: Doświadczenie losowe

Doświadczenie losowe, to doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w identycznych (lub zbliżonych) warunkach, które ma kilka możliwych wyników i którego wyniku nie daje się jednoznacznie przewidzieć.

Poniżej definicja przestrzeni zdarzeń elementarnych, przyjęta dla zobrazowania pojęcia (w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa zdarzenie elementarne i przestrzeń zdarzeń elementarnych to pojęcia pierwotne).

Przestrzeń zdarzeń elementarnych
Definicja: Przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przestrzenią zdarzeń elementarnych lub zbiorem zdarzeń elementarnych nazywamy zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego.

Zbiór zdarzeń elementarnych oznaczamy Ω.

Najprostszym sposobem szybkiego wypisania wszystkich zdarzeń elementarnych w danym doświadczeniu losowym jest sporządzenie odpowiedniej tabelki.

Przykład 1

Spinner oznaczony jest kolorem żółtym, zielonym i niebieskim. Krystyna zakręciła spinnerem i rzuciła monetą. Znajdziemy wszystkie możliwe wyniki tego doświadczenia.

RZO6gAevbopFh

Oznaczmy:
ż – spinner wskazuje kolor żółty,
n – spinner wskazuje kolor niebieski,
z – spinner wskazuje kolor zielony,
O – wypadł orzeł,
R – wypadła reszka.

Sporządzamy tabelkę możliwych wyników.

Moneta \ spinner

ż

n

z

O

ż, O

n, O

z, O

R

ż, R

n, R

z, R

Na podstawie tabelki określamy przestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnychprzestrzeń zdarzeń elementarnych i jej moc.

Ω=ż, O, n, O, z, O, ż, R, n, R, z, R

Ω=6.

Przykład 2

Dane są dwa zbiory: A=1, 2, 3B=4, 5, 6. Tworzymy pary liczb, wybierając najpierw element ze zbioru A, następnie ze zbioru B.

Określimy elementy przestrzeni zdarzeń elementarnych, sporządzając odpowiednią tabelkę.

BA

1

2

3

4

1, 4

2, 4

3, 4

5

1, 5

2, 5

3, 5

6

1, 6

2, 6

3, 6

Elementami zbioru Ω są wszystkie pary liczb a, b takie, że a1, 2, 3, b4, 5, 6.

Jest 9 takich par: Ω=9.

Każdy podzbiór zbioru Ω nazywamy zdarzeniem losowym (zdarzeniem).
Zdarzenia losowe oznaczać będziemy dużymi literami alfabetu: A, B, C,
Na przykład zdarzeniem losowym w opisanym powyżej doświadczeniu losowym może być zdarzenie A: utworzono parę liczb, których suma jest równa 7.
Wtedy: A=1, 6, 2, 5, 3, 4A=3.
Elementy zbioru A to zdarzenia sprzyjające temu zdarzeniu.

Przykład 3

Iwona wprawia w ruch wskazówkę na zielonej i wskazówkę na żółtej tarczy.

RPGTr0Os5IOFZ

Określimy liczbę zdarzeń sprzyjających zdarzeniu: A – obie wskazówki zatrzymają się na polach oznaczonych tymi samymi liczbami.

Najpierw ustalimy zbiór zdarzeń elementarnych. Możemy zrobić to, na przykład rysując tzw. słoneczko wyników.

R8PbomkYdK0f4

Z każdego z sześciu pól „słoneczka” wychodzą cztery strzałki.

Ω=6·4=24

Zaznaczamy i odczytujemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A.

R98lS4v0KQRA7

A=3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6

A=4.

W następnych przykładach zastosujemy metodę drzew do opisu wieloetapowego doświadczenia losowego. Diagram w postaci drzewa składa się z wierzchołków reprezentujących wyniki doświadczenia losowego, krawędzi łączących węzły reprezentujące kolejne zdarzenia.

Przykład 4

Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie strzałką do tarczy. Za każdym razem mamy tylko dwie możliwości:

T – trafimy w tarczę

N – nie trafimy w tarczę

Możliwe zdarzenia elementarne obrazuje diagram.

R1AKZ9XF6uPve

Ω=TT, TN, NT, NN.

Przykład 5

Z cyfr 1, 2, 3 ułożono wszystkie możliwe liczby trzycyfrowe o różnych cyfrach. Przedstawimy graficznie przebieg doświadczenia i określimy, ile jest zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A – otrzymane liczby są podzielne przez 4.

R1FiJVJ1ukhc2

Z diagramu odczytujemy, że jest 6 zdarzeń elementarnych, w tym dwa sprzyjające zdarzeniu A.

Ω=123, 132, 213, 231, 312, 321

A=132, 312.

W niektórych przypadkach, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest wieloelementowy, na grafie trudno jest zaznaczyć wszystkie zdarzenia elementarne. Zatem można zbudować tylko część diagramu lub zaznaczyć tylko zdarzenia sprzyjające danemu zdarzeniu.

Przykład 6

Na diagramie przedstawiono, jak szybko może rozprzestrzeniać się wirus w przypadku, gdy każda z zarażonych osób zarazi tylko dwie osoby dziennie.

RRSTq4NbTiF8F

Z diagramu możemy odczytać, że po 5 dniach będą zarażone   25=32 „nowe” osoby, a po 6 dniach aż 26=64 „nowe” osoby.

Jeśli więc wirus będzie nadal rozprzestrzeniał się w tym samym tempie, to po 10 dniach będzie zarażonych ponad tysiąc „nowych” osób. Zatem trudno by było zaznaczyć na diagramie taką liczbę zdarzeń elementarnych. Określając więc ich liczbę, posłużyliśmy się analogią. Skoro po dwóch dniach liczba „nowych”  osób wynosiła 22, po trzech dniach 23, , po sześciu dniach 26, to po dziesięciu dniach będzie wynosiła 210.

Po dwóch miesiącach takich „nowych”  osób będzie

26012 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Przykład 7

Z urny zawierającej 10 kul żółtych, 10 kul pomarańczowych i 10 kul niebieskich losujemy kolejno trzy kule.

RQR4aJarNgT18

Interesuje nas zdarzenie: A – wylosowane kule są w różnych kolorach.

Na diagramie zaznaczamy tylko zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A.

Oznaczmy:
n – wylosowana kula jest niebieska,
p – wylosowana kula jest pomarańczowa,
ż – wylosowana kula jest żółta.

Na podstawie grafu, wypisujemy zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A.

A=p, ż, n, p, n, ż, ż, p, n, ż, n, p, n, p, ż, n, ż, p

A=6.

Słownik

doświadczenie losowe
doświadczenie losowe

doświadczenie, które może być powtarzane dowolnie wiele razy w identycznych (lub zbliżonych) warunkach, które ma kilka możliwych wyników i którego wyniku nie daje się jednoznacznie przewidzieć

przestrzeń zdarzeń elementarnych
przestrzeń zdarzeń elementarnych

zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych dla danego doświadczenia losowego