Wróć do informacji o e-podręczniku Udostępnij materiał Wydrukuj

Trzy boki jednoznacznie wyznaczają trójkąt, co jest treścią jednej z cech przystawania trójkątówcechy przystawania trójkątówcech przystawania trójkątów. Tym samym jednoznacznie wyznaczone są wszystkie kąty trójkąta o danych bokach. Ale jak wyznaczyć ich miary, korzystając tylko z elementarnych metod i ewentualnie twierdzenia sinusów? Okazuje się, że można, choć czeka nas nieco pracy.

Przykład 1

Dany jest trójkąt, którego boki mają długości: 1516, 17. Naszym zadaniem będzie wyznaczenie miar kątów tego trójkąta. Na początek przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

R1B4MlmCaPFD3

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa odpowiednio dla trójkątów ADCBDC mamy p2+h2=172 oraz q2+h2=152. Wiemy także, że p+q=16. Z pierwszych dwóch równań, eliminując niewiadomą h, otrzymujemy, że 152-q2=172-p2. Podstawiając teraz, że q=16-p, mamy 152-16-p2=172-p2. Upraszczając ostatnie równanie dostajemy, że 32p=320. Stąd: p=10, q=6, h=189. Zatem sinα=189170,8087 oraz sinβ=189150,9165. Przybliżone miary kątów są równe: α=54°, β=66° oraz γ=60°.

Czy twierdzenie sinusów jest nam niezbędne?

Zagadnienie opisane w Przykładzie 1. pokazuje, że potrafimy wiele dokonać bez osiągnięcia Snelliusa, któremu przypisuje się sformułowanie twierdzenia sinusów. Ale nie jest trudno wskazać prosty model, w którym zastosowanie tego twierdzenia istotnie ułatwia rozwiązanie problemu, choć jak zobaczymy, dalej nie będzie niezbędne.

Przykład 2

Rozważmy trójkąt, którego dwa boki mają długości: AB=6, AC=8, a kąt leżący między tymi bokami ma miarę 60°. Te informacje w sposób jednoznaczny wyznaczają trójkąt, o czym mówi cecha kbk przystawania trójkątów. Przypuśćmy jednak, że znamy także długość trzeciego boku tego trójkąta i jest ona równa BC=213. Naszym zadaniem jest wyznaczenie miar pozostałych kątów tego trójkąta.

Na wstępie zauważmy, że mając trzy dane boki trójkąta, moglibyśmy postąpić analogicznie do sposobu zastosowanego w Przykładzie 1., czyli rozwiązać układ trzech równań z trzema niewiadomymi, w którym dwa równania są stopnia drugiego. Znów uniknęlibyśmy stosowania twierdzenia sinusów, ale byłoby to nieracjonalne, bo jak za moment zobaczymy, twierdzenie sinusów „od razu” rozwiązuje nasz problem. Mamy bowiem BCsin60°=ACsinβ=ABsinγ. Stąd sinβ=8·32213=239130,9608β74° oraz sinγ=6·32213=339260,7206γ46°. Tym samym rozwiązanie problemu sprowadziło się do podstawienia wielkości do wzoru Snelliusa, krótko i elegancko.

A teraz coś dla czworokąta.

Przykład 3

Punkt O jest ortocentrum trójkąta ostrokątnego ABC, w którym ABC=60°, AB=10, AC=63. Na trójkącie ABO opisano okrąg. Odcinek AO jest krótszą podstawą trapezu ADBO wpisanego w okrąg. Oblicz miary kątów tego trapezu.

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia takie, jak na rysunku. Punkty P i Q są spodkami odpowiednich wysokości.

R3SNr4u7USKbg

Oznaczmy kąty przy wierzchołkach A, B, C odpowiednio przez α, β, γ. Wtedy ABsinγ=ACsinβ. Stąd sinγ=AB·sinβAC=10·3263=56. Oznacza to, że γ56°. Z bilansu kątów w trójkącie otrzymujemy, że α64°. Pozostaje zauważyć, że przy przyjętych oznaczeniach, kąt AOB ma miarę AOB=180°-(90°-α)-(90°-β)=α+β i jest to kąt rozwarty trapezu równoramiennego (co wynika z faktu, że jest on wpisany w okrąg). Zatem kąt rozwarty ma miarę w przybliżeniu równą 124°, a kąt ostry tego trapezu ma miarę 56°.

Słownik

cechy przystawania trójkątów
cechy przystawania trójkątów

cechy przystawania trójkątów to warunki konieczne i wystarczające na to, by dwa trójkąty były przystające; najczęściej mówi się o cechach: bbb (bok‑bok‑bok), bkb (bok‑kąt‑bok); kbk (kąt‑bok‑kąt)