Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Wzory skróconego mnożenia często są pomocne w dowodzeniu twierdzeń z teorii podzielności, czy rozkładzie wyrażeń algebraicznych na czynniki. W tym materiale przykłady takich zastosowań wzoru na sumę sześcianów oraz wzoru  na różnicę sześcianów.

Przykład 1

Pokażemy najpierw sposób wyprowadzenia wzoru na sumę sześcianówwzór na sumę sześcianówwzoru na sumę sześcianów, co pomoże zrozumieć niuanse algebraiczne związane z tym wzorem.

R14hIm5qLaMvq
Film nawiązujący do treści lekcji dotyczący sumy sześcianów.

Wzór na sumę sześcianów:

a3+b3=a+ba2-ab+b2

W podobny sposób, jak w Przykładzie 1, można wyprowadzić wzór na różnicę sześcianów.

Wzór na różnicę sześcianów:

a3-b3=a-ba2+ab+b2
Przykład 2

Wykażemy, że wartość wyrażenia A=n-13-2n3+n+13 dla każdej liczby naturalnej n jest liczbą podzielną przez 6.

Przekształcamy wyrażenie tak, aby skorzystać ze wzoru na sumę sześcianów.

A=n-13-2n3+n+13

A=n-13+n+13-2n3

A=n-13+n+13-2n3

A=n-1+n+1·n-12-n-1n+1+n+12-2n3

W dalszych przekształceniach wykorzystamy wzór skróconego mnożenia na kwadrat sumy oraz wzór na kwadrat różnicy.

A=2n·n2-2n+1-n2+1+n2+2n+1-2n3

A=2n·n2+3-2n3

A=6n

Iloczyn liczby 6 i liczby naturalnej jest liczbą podzielną przez 6, co należało wykazać.

Przykład 3

Wykażemy, że każda liczba rzeczywista spełnia równanie

x+33-3x+23+3x+13=6+x3.

Przekształcamy równanie, grupując odpowiednio wyrazy.

x+33-3x+23+3x+13=6+x3

x+33-x3-3x+23-3x+13=6

x+33-x3-3x+23-x+13=6

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i przekształcamy pierwszy składnik.

x+3-xx2+6x+9+x2+3x+x2-3x+23-x+13=6

33x2+9x+9-3x+23-x+13=6 |:3

3x2+9x+9-x+23-x+13=2

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianówwzór na różnicę sześcianówwzoru skróconego mnożenia na różnicę sześcianów i przekształcamy drugi składnik.

3x2+9x+9-x+2-x-1·x+22+x+2x+1+x+12=2

3x2+9x+9-1·x2+4x+4+x2+x+2x+2+x2+2x+1=2

3x2+9x+9-3x2+9x+7=2

2=2

Otrzymaliśmy równość prawdziwą dla każdej liczby rzeczywistej x, co kończy dowód.

Rozwiążemy teraz uwspółcześniony problem związany z rozważaniami Diofantosa na temat rozwiązalności równań w zbiorze liczb całkowitych.

Przykład 4

Znajdziemy wszystkie pary liczb całkowitych a, b spełniających równanie

a3+b3=a+b2.

Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na sumę sześcianów oraz ze wzoru na kwadrat sumy i rozkładamy lewą i prawą stronę równania na czynniki.

a3+b3=a+b2

a+ba2-ab+b2=a+ba+b

Przenosimy wszystkie wyrażenia na lewą stronę równania i wyłączamy wspólny czynnik przed nawias.

a+ba2-ab+b2-a+ba+b=0

a+ba2-ab+b2-a-b=0

Zatem

a+b=0 lub a2-ab+b2-a-b=0

Z pierwszego otrzymanego równania wnioskujemy, że rozwiązaniem równania są wszystkie pary liczb takich, że b=-a, czyli pary a, -a.

Załóżmy teraz, że b-a.

Przekształcamy drugie z otrzymanych równań.

a2-ab+b2-a-b=0 |·2

2a2-2ab+2b2-2a-2b=0

a2-2ab+b2+a2-2a+1+b2-2b+1-2=0

a-b2+a-12+b-12=2

Zauważmy, że składniki lewej strony równania to liczby nieujemne i ich suma jest równa 2.

Wynika stąd, że

a-121b-121.

Czyli

a0, 2b0, 2.

Ponieważ a, b to liczby całkowite, więc a0, 1, 2, b0, 1, 2.

Po sprawdzeniu potencjalnych rozwiązań, uzyskujemy pary liczb spełniających rozpatrywane równanie:

0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2.

Odpowiedź:

Równanie spełniają wszystkie pary liczb a, -a, gdzie a jest liczbą całkowitą, oraz pary 0, 1, 1, 0, 1, 2, 2, 1, 2, 2.

W następnym przykładzie skorzystamy z twierdzenia, które znakomicie ułatwia rozwiązywanie wielu problemów dotyczących np. rozkładu wielomianów na czynniki.

o sumie trzech sześcianów
Twierdzenie: o sumie trzech sześcianów

Dowolne liczby rzeczywiste a, b, c spełniają warunek

a3+b3+c3=a+b+c3-3a+bb+ca+c

Wniosek:

Jeżeli a+b+c=0  to

a3+b3+c3=3abc
Przykład 5

Liczby x, y, z spełniają warunek x-y3+y-z3+z-x3=0.

Wykażemy, że co najmniej dwie z tych liczb są równe.

Skorzystamy z powyższego twierdzenia.

Oznaczmy:

a=x-y3

b=y-z3

c=z-x3

Wtedy

a+b+c=0, czyli a3+b3+c3=3abc.

x-y+y-z+z-x=3·x-y3·y-z3·z-x3

0=3·x-y3·y-z3·z-x3

x-y=0 lub y-z=0 lub z-x=0

x=y lub y=z lub z=x

C.n.d

Słownik

wzór na sumę sześcianów
wzór na sumę sześcianów
a3+b3=a+ba2-ab+b2
wzór na różnicę sześcianów
wzór na różnicę sześcianów
a3-b3=a-ba2+ab+b2