Podstawmy do lewej strony równania dwukwadratowegorównanie dwukwadratowerównania dwukwadratowego $x^4-5x^2+4=0$ w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $3$, a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą. Po podstawieniu liczby $3$ w miejsce niewiadomej $x$ do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

$L=3^4-5·3^2+4=81-5·9+4=81-45+4=40$.

Prawa strona równania jest równa $0$.

Lewa i prawa strona równania przyjmują dla $x$ równego $3$ różną wartość. Wynika stąd, że $L\ne P$. Zatem po podstawieniu liczby $3$ do obu stron równania otrzymaliśmy równość fałszywą. Liczba $3$ nie spełnia tego równania.

Podstawmy do lewej strony równania $x^4-5x^2+4=0$ w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $2$, a następnie odpowiemy na pytanie, czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą. Po podstawieniu liczby $2$ w miejsce niewiadomej $x$ do lewej strony równania otrzymujemy wyrażenie:

$L=2^4-5·2^2+4=16-5·4+4=0$.

Prawa strona równania jest równa $0$.

Lewa i prawa strona równania przyjmują dla $x$ równego $2$ tą samą wartość. Wynika stąd, że $L=P$. Zatem po podstawieniu liczby $2$ do obu stron równania otrzymaliśmy równość prawdziwą. Liczba $2$ spełnia to równanie.

Liczbę, która spełnia dane równanie nazywamy rozwiązaniem równania lub pierwiastkiem równaniapierwiastki równaniapierwiastkiem równania.

Zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie nazywamy zbiorem rozwiązań równaniazbiór rozwiązań równaniazbiorem rozwiązań równania.

Sprawdzimy, czy liczby $-3, -1, 1, 3$ są pierwiastkami równaniapierwiastki równaniapierwiastkami równania $x^4-10x^2+9=0$.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $-3$ otrzymujemy:

${\left(-3\right)}^4-10·{\left(-3\right)}^2+9=81-90+9=0$.

Zatem $L=P$, czyli liczba $-3$ spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $-1$ otrzymujemy:

${\left(-1\right)}^4-10·{\left(-1\right)}^2+9=1-10+9=0$.

Zatem $L=P$, czyli liczba $-1$ spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $1$ otrzymujemy:

$1^4-10·1^2+9=1-10+9=0$.

Zatem $L=P$, czyli liczba $1$ spełnia równanie.

Podstawiając do równania w miejsce niewiadomej $x$ liczbę $3$ otrzymujemy:

$3^4-10·3^2+9=81-90+9=0$

Zatem $L=P$, czyli liczba $3$ spełnia równanie.

Czyli liczby $-3, -1, 1, 3$ są pierwiastkami równania $x^4-10x^2+9=0$.

Rozwiążemy równanie $x^4-5x^2+4=0$.

Równanie możemy przedstawić w postaci ${\left(x^2\right)}^2-5x^2+4=0$.

Zastosujemy podstawienie $x^2=z$, gdzie $z\ge 0$.

Wówczas otrzymujemy równanie $z^2-5z+4=0$.

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\mathrm{\Delta }={\left(-5\right)}^2-4·1·4=25-16=9\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{9}=3$

Ponieważ $\mathrm{\Delta }>0$ zatem równanie ma dwa rozwiązania.

$z_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$z_1=\frac{-\left(-5\right)-3}{2·1}$

$z_1=1$

$z_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$z_2=\frac{-\left(-5\right)+3}{2·1}$

$z_2=4$

Teraz wrócimy do podstawienia $x^2=z$.

$z=1$

$x^2=1$

$x=-1$ lub $x=1$

$z=4$

$x^2=4$

$x=-2$ lub $x=2$

Ponieważ oba rozwiązania równania kwadratowego $z^2-5z+4=0$ są liczbami dodatnimi, więc w wyniku powrotu do podstawienia $x^2=z$ otrzymaliśmy cztery rozwiązania.

Rozwiązaniem równania są liczby $x=-2, x=-1, x=1, x=2$ .

Rozwiążemy równanie $x^4+3x^2-4=0$.

Równanie możemy przedstawić w postaci ${\left(x^2\right)}^2+3x^2-4=0$.

Zastosujemy podstawienie $x^2=z$, gdzie $z\ge 0$.

Wówczas otrzymujemy równanie $z^2+3z-4=0$.

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\mathrm{\Delta }=3^2-4·1·\left(-4\right)=9+16=25\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{25}=5$

Ponieważ $\mathrm{\Delta }>0$ zatem równanie ma dwa rozwiązania.

$z_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$z_1=\frac{-3-5}{2·1}$

$z_1=-4$

$z_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$z_2=\frac{-3+5}{2·1}$

$z_2=1$

Teraz wrócimy do podstawienia $x^2=z$.

$z_1=-4$

$x^2=-4$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo $z<0$.

$z_2=1$

$x^2=1$

$x=-1$ lub $x=1$

Ponieważ jedno rozwiązanie równania kwadratowego $z^2+3z-4=0$ jest liczbą dodatnią, a drugie liczbą ujemną, więc w wyniku powrotu do podstawienia $x^2=z$ otrzymaliśmy dwa rozwiązania.

Rozwiązaniem równania są liczby$x=-1, x=1$ .

Rozwiążemy równanie $x^4+5x^2+4=0$.

Równanie możemy przedstawić w postaci ${\left(x^2\right)}^2+5x^2+4=0$.

Zastosujemy podstawienie $x^2=z$, gdzie $z\ge 0$.

Wówczas otrzymujemy równanie $z^2+5z+4=0$.

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$\mathrm{\Delta }=5^2-4·1·4=25-16=9\Rightarrow \sqrt{\mathrm{\Delta }}=\sqrt{9}=3$

Ponieważ $\mathrm{\Delta }>0$ zatem równanie ma dwa rozwiązania.

$z_1=\frac{-b-\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$z_1=\frac{-5-3}{2·1}$

$z_1=-4$

$z_2=\frac{-b+\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{2a}$

$z_2=\frac{-5+3}{2·1}$

$z_2=-1$

Teraz wrócimy do podstawienia $x^2=z$.

$z_1=-4$

$x^2=-4$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo $z<0$.

$z_2=-1$

$x^2=-1$

Otrzymaliśmy równanie sprzeczne, bo $z<0$.

Oba rozwiązania równania kwadratowego $z^2+3z-4=0$ są ujemne, więc w wyniku powrotu do podstawienia $x^2=z$ otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Równanie nie posiada rozwiązania.

równanie postaci $a{x}^4+b{x}^2+c=0$, gdzie $a\ne 0$

liczby spełniające równanie

zbiór wszystkich liczb spełniających dane równanie