Ułamek okresowy $0,\left(31\right)$ zamienimy na ułamek zwykły.

Rozwiązanie

Zapiszmy ułamek $0,\left(31\right)$ w następujący sposób:

$0,\left(31\right)=0,313131\dots =0,31+0,0031+0,000031+\dots =$

$=31·{10}^{-2}+31·{10}^{-4}+31·{10}^{-6}+\dots$

Ułamek ten stanowi sumę szeregu geometrycznegosuma szeregu geometrycznegosumę szeregu geometrycznego, w którym $a_1=31·{10}^{-2}$ i iloraz $q={10}^{-2}$. Szereg ten jest więc zbieżny, bo $\left|q\right|<1$, a jego suma jest równa:

$S=31·{10}^{-2}·\frac{1}{1-{10}^{-2}}=\frac{31}{99}$.

Odpowiedź: $0,\left(31\right)=\frac{31}{99}$.

Ułamek okresowy $2,5\left(141\right)$ zamienimy na ułamek zwykły.

Rozwiązanie

Zapiszmy ułamek $2,5\left(141\right)$ w następujący sposób:

$2,5\left(141\right)=2,5+0,0141+0,0000141+0,0000000141+\dots =$

$=2,5+141·{10}^{-4}+141·{10}^{-7}+141·{10}^{-10}+\dots$

Suma tych wszystkich składników, poczynając od drugiego, jest sumą szeregu geometrycznego o pierwszym wyrazie $a_1=141·{10}^{-4}$ i ilorazie $q={10}^{-3}$.

Szereg ten jest więc zbieżny, gdyż $\left|q\right|<1$, a jego suma jest równa: $S=141·{10}^{-4}·\frac{1}{1-{10}^{-3}}=\frac{141}{0,999}·{10}^{-4}·$.

Stąd otrzymujemy:

$2,5\left(141\right)=2,5+\frac{141}{9990}=2,5+\frac{47}{3330}=\frac{25}{10}+\frac{47}{3330}=\frac{8325}{3330}+\frac{47}{3330}=\frac{8372}{3330}$.

Odpowiedź: $2,5\left(141\right)=\frac{8372}{3330}$.

Wyznaczymy szereg geometryczny, którego suma jest równa $\frac{6}{5}$, a suma kwadratów wyrazów tego szeregu wynosi $\frac{36}{5}$.

Rozwiązanie

Oznaczmy szukany szereg jako: $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$.

Zadanie sprowadza się do znalezienia dwóch parametrów tego ciągu: pierwszego wyrazu $a_1$ i ilorazu $q$.

Ponieważ szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest zbieżny, więc $\left|q\right|<1$.

W takim razie szereg o pierwszym wyrazie $a_1^2$ i ilorazie $q^2$ też jest zbieżny.

Zapiszmy układ warunków:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{a_1}{1-q}=\frac{6}{5}\\ \frac{a_1^2}{1-q^2}=\frac{36}{5}\end{array}\right.$

Wyliczmy $a_1$ z pierwszego równania: $a_1=\frac{6}{5}\left(1-q\right)$ i podstawmy do drugiego:

$\frac{{\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\left(1-q\right)\right)}^2}{1-q^2}=\frac{36}{5}$

$\frac{{\left({\displaystyle \frac{6}{5}}\right)}^2\left(1-q\right)}{1+q}=\frac{36}{5}$

$1-q=5\left(1+q\right)$

$6q=-4$

$q=-\frac{2}{3}$

Wyliczona wartość $q$ spełnia warunek zbieżności.

Wyliczamy $a_1=\frac{6}{5}\left(1-\left(-\frac{2}{3}\right)\right)=\frac{6}{5}·\frac{5}{3}=2$.

Odpowiedź: $a_1=2$, $q=-\frac{2}{3}$.

Suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego o numerach nieparzystych jest równa $12$, a suma wszystkich wyrazów o numerach parzystych jest równa $4$. Znajdź ten ciąg.

Rozwiązanie

Oznaczmy szukany szereg jako: $\left(a_n\right)$. Niech $a_1$ będzie pierwszym wyrazem i $q$ będzie ilorazem tego ciągu.

Zwróćmy uwagę na to, że szereg geometryczny utworzony z wyrazów o nieparzystych numerach ciągu $\left(a_n\right)$ jest szeregiem geometrycznym zbieżnym o ilorazie $q^2$ i pierwszym wyrazie $a_1$. Zatem $\left|q^2\right|<1$, czyli $\left|q\right|<1$. Stąd wynika, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest zbieżny.

Analogicznie możemy stwierdzić, że szereg utworzony z wyrazów o parzystych numerach ciągu $\left(a_n\right)$ jest szeregiem geometrycznym zbieżnym o ilorazie $q^2$ i pierwszym wyrazie $a_2=q{a}_1$.

Zapiszmy zatem sumy szeregów z zadania:

$\frac{a_2}{1-q^2}=4$, czyli $\frac{q{a}_1}{1-q^2}=4$,

$\frac{a_1}{1-q^2}=12$.

Z układu wynika, że $12q=4$, czyli $q=\frac{1}{3}$. Zatem $a_1=12\left(1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\right)=\frac{32}{3}$.

jeżeli $\left|q\right|<1$ lub $a_1=0$, to szereg geometryczny $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}$ jest zbieżny.

Jeżeli $a_1=0$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=0$.

Jeżeli $\left|q\right|<1$, to $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_1·q^{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }{S}_n=\frac{a_1}{1-q}$