Przeczytaj

Pamiętasz?

Równanie kwadratowe z jedną niewiadomą – jest to równanie, które można sprowadzić do postaci

a x^{2} + b x + c = 0,

gdzie:
$a$ , $b$ i $c$ – są dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz $a \neq 0$ .

Postać $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdy $a \neq 0$ nazywamy postacią ogólną równania kwadratowego.

Równania, w których współczynniki $b$ lub $c$ są równe $0$ , nazywamy równaniami kwadratowymi niezupełnymi.

Jeżeli $b = 0$ i $c = 0$ to równanie kwadratowe $a x^{2} = 0$ ma tylko jedno rozwiązanie $x = 0$ .

Z definicji wartości bezwzględnej mamy $|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}$ .

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + 1| = 0$ .

Wyrażenie $x^{2} + 1 > 0$ dla dowolnego $x \in ℝ$ , czyli równanie $|x^{2} + 1| = 0$ nie posiada rozwiązania.

Przykład 2

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 4 x| = x^{2} - 4 x$ .

Wiemy, że $|a| = a$ dla $a \geq 0$ .

Czyli $x^{2} - 4 x \geq 0$

$x (x - 4) \geq 0$

$x = 0 \lor x = 4$

R6YBXRDkG1gNt

Rysunek przedstawia poziomą oś X od minus dwóch do sześciu, przy czym wyróżniono dwie liczby: 0 i 4. Poprowadzono przez nie wykres wielomianu w kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry tak, że od minus nieskończoności do zera wykres znajduje się nad osią, w zerze przechodzi pod oś i wraca nad oś w punkcie 4. Fragment nad osią oznaczono plusami znajdującymi się między osią a wykresem, a fragment pod osią oznaczono minusami znajdującymi się między osią a wykresem.

Rozwiązanie równania: $x \in (- \infty, 0⟩ \cup ⟨4, \infty)$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $|x^{2} - 1| = |3 - x^{2}|$ .

Aby rozwiązać równanie skorzystamy z własności $|a| = |b| \Leftrightarrow a = b$ lub $a = - b$ .

Czyli $x^{2} - 1 = 3 - x^{2}$ lub $x^{2} - 1 = - (3 - x^{2})$ .

Rozwiążemy równanie $x^{2} - 1 = 3 - x^{2}$ .

$2 x^{2} - 4 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

$(x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) = 0$

$x = \sqrt{2}$ lub $x = - \sqrt{2}$

Rozwiążemy równanie $x^{2} - 1 = - (3 - x^{2})$ .

$x^{2} - 1 = - 3 + x^{2}$

$1 \neq - 3$ – sprzeczność

Rozwiązaniem równania są liczby $x = - \sqrt{2}$ , $x = \sqrt{2}$ .

Przykład 4

Znajdziemy wszystkie rzeczywiste wartości parametru $k$ , dla których rozwiązaniem równania kwadratowego niezupełnego $|k^{2} x^{2} - 1| = 2$ z niewiadomą $x$ jest liczba $(- 1)$ .

Do równania podstawiamy w miejsce $x$ liczbę $(- 1)$ .

$|k^{2} {(- 1)}^{2} - 1| = 2$

$|k^{2} - 1| = 2$

Skorzystamy z własności wartości bezwzględnejwartość bezwzględna liczby $x$ wartości bezwzględnej.

Jeżeli $a > 0$ to $|x| = a \Leftrightarrow x = a$ lub $x = - a$ .

Otrzymujemy alternatywę równań:

$k^{2} - 1 = 2 \lor k^{2} - 1 = - 2$

$k^{2} - 3 = 0 \lor k^{2} + 1 = 0$ – sprzeczność, bo $k^{2} + 1 > 0$ dla $k \in ℝ$

$k = \sqrt{3} \lor k = - \sqrt{3}$

Dla $k = - \sqrt{3}$ , $k = \sqrt{3}$ rozwiązaniem równania jest liczba $(- 1)$ .

Przykład 5

Obliczymy, kiedy równanie $|x^{2} + 2 x| = 1 - m$ jest sprzeczne.

Aby równanie nie posiadało rozwiązania wyrażenie $1 - m < 0$ .

$- m < - 1$

$m > 1$

Równanie jest sprzeczne dla $m \in (1, \infty)$ .

Słownik

wartość bezwzględna liczby

x

wartość bezwzględna liczby

x

|x| = \{\begin{cases} x & dla x \geq 0 \\ - x & dla x < 0 \end{cases}

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik