Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

Wzajemne położenie dwóch okręgów

Rozważmy dwa okręgi, których środkami są punkty O1O2, a ich promienie są równe odpowiednio r1r2.

Przyjmiemy wówczas następujące definicje.

Okręgi styczne zewnętrznie
Definicja: Okręgi styczne zewnętrznie

Powiemy, że okręgi O1O2 są styczne zewnętrznie, jeżeli mają jeden punkt wspólny i koła ograniczone tymi okręgami nie mają żadnych innych punktów wspólnych. Punkt wspólny tych okręgów nazywamy ich punktem styczności.

R4eiCyCz6s9RH
Okręgi styczne wewnętrznie
Definicja: Okręgi styczne wewnętrznie

Powiemy, że okręgi O1O2 są styczne wewnętrznie, jeżeli mają jeden punkt wspólny, a koła ograniczone tymi okręgami mają nieskończenie wiele punktów wspólnych.

Rr17RPZuoSjmL

Zauważmy, że nie istnieją okręgi o równych promieniach, które byłyby styczne wewnętrznie.

Zauważmy, że okręgi mogą mieć dwa punkty wspólne – powiemy wówczas, że okręgi te przecinają się.

R18BDOufbMNgv

Dwa okręgi mogą nie mieć żadnego punktu wspólnego – mamy wówczas dwa istotnie różne położenia takich okręgów, podobnie jak w przypadku okręgów stycznych. Jednym z położeń jest takie, w którym koła ograniczone tymi okręgami nie mają punktów wspólnych – powiemy wówczas, że każdy z tych okręgów leży na zewnątrz drugiego.

R17kamH8Rn7VR

Drugim położeniem, przy którym dwa okręgi nie mają punktów wspólnych jest takie, w którym koło, ograniczone jednym z okręgów, leży wewnątrz drugiego z kół.

RsvGDwmr8Q3hm
Okręgi współśrodkowe
Definicja: Okręgi współśrodkowe

Jeżeli jeden z okręgów leży wewnątrz drugiego z okręgów w taki sposób, że ich środki się pokrywają, to powiemy, ze okręgi te są współśrodkowe.

Wzajemne położenie dwóch okręgów charakteryzują poniższe twierdzenia, które ze względu na ich intuicyjny charakter, przyjmujemy bez dowodu.

Okręgi wzajemnie zewnętrzne
Twierdzenie: Okręgi wzajemnie zewnętrzne

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od sumy ich promieni, to każdy z tych okręgów leży na zewnątrz drugiego.

Okręgi styczne zewnętrznie
Twierdzenie: Okręgi styczne zewnętrznie

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest równa sumie ich promieni, to okręgi te są styczne zewnętrznie.

Okręgi styczne wewnętrznie
Twierdzenie: Okręgi styczne wewnętrznie

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów, o różnych promieniach, jest równa wartości bezwzględnej różnicy tych promieni, to okręgi te są styczne wewnętrznie.

Okręgi wzajemnie wewnętrzne
Twierdzenie: Okręgi wzajemnie wewnętrzne

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest mniejsza od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni, to okrąg o mniejszym promieniu leży wewnątrz okręgu o większym promieniu.

Okręgi przecinające się
Twierdzenie: Okręgi przecinające się

Jeżeli odległość środków dwóch okręgów jest większa od wartości bezwzględnej różnicy ich promieni, a mniejsza od sumy promieni, to okręgi te przecinają się.

Zauważmy, że prawdziwe są również twierdzenia odwrotne do każdego z powyższych twierdzeń.

Ważne!

Moglibyśmy zapisać każde z powyższych twierdzeń bez konieczności wykorzystywania pojęcia wartości bezwzględnej, o ile wprowadzimy porządek w długościach promieni. Sformułujemy wówczas powyższe twierdzenia jako odpowiednie warunki równoważne.

Wzajemne położenie okręgów
Twierdzenie: Wzajemne położenie okręgów

Dane są okręgi o środkach w punktach O1O2 i promieniach r1r2, gdzie r1r2. Wtedy:

  • okręgi O1O2 są styczne zewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy O1O2=r1+r2;

  • okręgi O1O2, o różnych promieniach, są styczne wewnętrznie wtedy i tylko wtedy, gdy O1O2=r2-r1;

  • okręgi O1O2 przecinają się w dwóch punktach wtedy i tylko wtedy, gdy r2-r1<O1O2<r1+r2;

  • każdy z okręgów O1O2 leży na zewnątrz drugiego wtedy i tylko wtedy, gdy O1O2>r1+r2;

  • okrąg O1 leży wewnątrz okręgu O2 wtedy i tylko wtedy, gdy O1O2<r2-r1.

Okazuje się, że już w czasach starożytnych badano zagadnienie szczególnego położenia większej liczby okręgów. Już w III wieku p. n. e. Apoloniusz z Pergi badał istnienie okręgu stycznego do trzech danych okręgów. Co prawda, rozwiązanie postawionego przez Apoloniusza problemu zawdzięczamy Kartezjuszowi, ale to Frederick Soddy, laureat Nagrody Nobla w dziedzinie chemii, zasłużył na to, by jego imieniem nazwać okręgi styczne do trzech danychokręgi Soddy'egookręgi styczne do trzech danych, wzajemnie stycznych okręgów. A swoją drogą ciekawe, jak bez znajomości dokonań Kartezjusza radzili sobie budowniczowie gotyckich zabytków, w szczególności twórcy maswerkówmaswerkmaswerków.

Przykład 1

Dwa okręgi o środkach w punktach O1O2 i promieniach r1r2 przecinają się w punktach AB.

Pokażemy, że ich wspólna cięciwa AB jest prostopadła do odcinka łączącego środki okręgów.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że trójkąty O1AO2O1BO2 są przystające na mocy cechy bbb.

R4Qu2V7yLTD2h
Wspólna cięciwa

Zauważmy, że wówczas kąty αβ są równe, zatem O1O2 jest dwusieczną w trójkącie równoramiennym AO2B i tym samym zawiera wysokość tego trójkąta. Stąd teza.

Przykład 2

Dany jest okrąg o środku O1 i promieniu r1.

Wyznaczymy liczbę okręgów o promieniu r1 potrzebnych do otoczenia danego okręgu, tj. stycznych zewnętrznie do danego okręgu i takich, że każde dwa sąsiednie są styczne zewnętrznie, jak na rysunku.

R5GzgJqO2SpWd

Rozwiązanie:

Rozważmy dany okrąg o środku O1 i promieniu r1 i dwa sąsiednie okręgi o zadanej własności, o środkach w punktach odpowiednio PQ, jak na rysunku.

RgGHhaKMQIjfI

Zauważmy, że wówczas trójkąt PO1Q jest trójkątem równobocznym.

Zatem PO1Q=16·360°.

Oznacza to, że do otoczenia danego okręgu powinniśmy sześciokrotnie odmierzyć taki sam kąt i dorysować okręgi, z których dwa się „powtórzą”.

Stąd liczba okręgów niezbędnych do otoczenia jest równa 6.

Przykład 3

Dane są dwa współśrodkowe okręgi o promieniach odpowiednio 128.

Wyznaczymy promień okręgu, który jest styczny do danych okręgów.

Rozwiązanie:

Model, który narzuca się przy rozwiązaniu naszego problemu, jest przedstawiony na poniższym rysunku.

RvmmSk5d454pv

Jeśli przez r oznaczymy szukany promień, to mamy spełnioną równość: 8+2r=12.

Stąd r=2.

Mniej oczywistym jest model, w którym szukany okrąg jest styczny w sposób przedstawiony na poniższym rysunku.

RbVdko9n2o6ES

Wówczas otrzymujemy: 2r=8+12.

Stąd r=10.

Słownik

maswerk
maswerk

geometryczny wzór architektoniczny o charakterze dekoracyjnym, wykuty z kamienia lub zrobiony z cegieł, używany do wypełnienia górnej części gotyckiego okna, witrażu, rozety itp.

okręgi Soddy'ego
okręgi Soddy'ego

dwa okręgi styczne do danych trzech okręgów są nazywane okręgami Soddy’ego