Szeregiem harmonicznym nazywamy szereg postaci:

Szereg harmoniczny jest rozbieżny do $+\infty$.

Wykażemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n-1}$ też jest rozbieżny.

Rozwiązanie

Zauważmy, że zachodzi nierówność $\frac{1}{2n-1}<\frac{1}{n}$ dla każdej liczby naturalnej $n>1$, a zatem w tej postaci nie możemy wykorzystać kryterium porównawczegokryterium porównawczekryterium porównawczego.

Skorzystamy z własności mnożenie szeregu przez liczbęo mnożeniu szeregu zbieżnego przez liczbęmnożenie szeregu przez liczbę: jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}$ jest rozbieżny, to szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n}$ także jest rozbieżny.

Zauważmy, że $\frac{1}{2n}<\frac{1}{2n-1}$, a to na podstawie kryterium porównawczego oznacza, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2n-1}$ jest rozbieżny.

Wykażemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}$ jest rozbieżny.

Rozwiązanie

Zauważmy, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność: $\frac{1}{n}\le \frac{1}{\sqrt{n}}$. Nierówność zachodzi, ponieważ $\sqrt{n}\le n$.

Na podstawie kryterium porównawczego oznacza to, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n}}$ jest rozbieżny.

Szeregiem harmonicznym rzędu $\alpha \in {\mathrm{ℝ}}_{+}$ nazywa się szereg postaci:

Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }}$ jest rozbieżny dla $\alpha \in \left(0,1\right.⟩$.

Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{\alpha }}$ jest zbieżny dla $\alpha \in \left(1,+\infty \right)$.

1. Wykażemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ jest rozbieżny.

2. Wykażemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n^3}}$ jest zbieżny.

Rozwiązanie

1. Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{n}}$ jest szeregiem harmonicznym rzędu $\frac{1}{3}$, więc na podstawie twierdzenia jest szeregiem rozbieżnym.

2. Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt{n^3}}$ jest szeregiem harmonicznym rzędu $\frac{3}{2}$, więc na podstawie twierdzenia jest szeregiem zbieżnym.

Wykażemy, że szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+n+1}}$ jest rozbieżny.

Rozwiązanie

Udowodnimy, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność $\frac{1}{2\sqrt[3]{n^2}}<\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+n+1}}$.

Dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność

$n+1<7n^2$,

a stąd

$n^2+n+1<8n^2$,

czyli

$\sqrt[3]{n^2+n+1}<2\sqrt[3]{n^2}$.

Szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}$ jest szeregiem harmonicznym rzędu $\frac{2}{3}$, a więc jest rozbieżny. Zatem szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{2\sqrt[3]{n^2}}$ jest także szeregiem rozbieżnym.

Z kryterium porównawczego, skoro dla każdej dodatniej liczby naturalnej $n$ zachodzi nierówność $\frac{1}{2\sqrt[3]{n^2}}<\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+n+1}}$, to szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{\sqrt[3]{n^2+n+1}}$ jest także rozbieżny.

liczba $H=\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}$, gdzie $a$ i $b$ są liczbami dodatnimi

jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ jest zbieżny i jego sumą jest liczba $s$, to szereg $\sum _{n=1}^{\infty }\left(k·a_n\right)$ jest także zbieżny, a jego suma jest równa $k·s$

zakładamy, że nierówność $0⩽a_n⩽b_n$ zachodzi dla prawie wszystkich dodatnich liczb naturalnych $n$;

jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_n$ jest zbieżny, to również szereg $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ jest zbieżny;

jeżeli szereg $\sum _{n=1}^{+\infty }{a}_n$ jest rozbieżny, to również szereg $\sum _{n=1}^{+\infty }{b}_n$ jest rozbieżny