Mówimy, że niezerowe wektory są prostopadłe, gdy ich kierunki są prostopadłe (zawarte są w prostych prostopadłych).

Poniżej przedstawiono pary wektorów prostopadłych wraz ze współrzędnymi. Czy widzisz jakiś związek między współrzędnymi wektorów prostopadłych?

Rj1RyQ7ppwdGy

Galeria zdjęć. Ilustracja jeden. Ilustracja przedstawia parę wektorów o tym samym punkcie zaczepienia. Ich współrzędne to: $\left[-1;2\right]$ oraz $\left[2;1\right]$.

RZHM2SWGLmm3b

Ilustracja dwa. Ilustracja przedstawia parę wektorów zaczepionych tym samym punkcie. Wektory mają współrzędne: $\left[2;1\right]$ oraz $\left[1;-2\right]$

R1LTVoG2N9R1I

Ilustracja trzy. Ilustracja przedstawia parę wektorów zaczepionych tym samym punkcie. Wektory mają współrzędne: $\left[3;2\right]$ oraz $\left[2;-3\right]$

RdDDPQonpPc4P

Ilustracja cztery. Ilustracja przedstawia parę wektorów zaczepionych tym samym punkcie. Wektory mają współrzędne: $\left[-2;3\right]$ i $\left[3;2\right]$

R1T8XN1PumoKZ

Ilustracja pięć. Ilustracja przedstawia parę wektorów zaczepionych tym samym punkcie. Wektory mają współrzędne: $\left[-1;3\right]$ i $\left[3;1\right]$

Uzasadnimy teraz, że wektory $\left[a;b\right]$ i $\left[-b;a\right]$ są prostopadłe. W tym celu zaczepimy oba wektory w początku układu współrzędnych. Wówczas końce tych wektorów mają współrzędne $\left(a;b\right)$ i $\left(-b;a\right)$.

R1QYFOvwnxHzq

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych. Oś pionowa została oznaczona jako Y, natomiast pozioma jako X. Na osi X są liczby z zakresu od minus 7 do 8, natomiast na osi Y są liczby z zakresu od minus 4 do cztery. Narysowano dwie proste prostopadłe, przecinają się one w środku układu współrzędnych. W pierwszej ćwiartce wzdłuż jednej z prostych narysowano wektor zaczepiony w początku układu współrzędnych, wektor ma współrzędne $\left[a;b\right]$, punkt końcowy wektora znajduje się w punkcie $\left(a;b\right)$ znajdującym się na prostej. W drugiej ćwiartce z początku układu współrzędnych narysowano wektor wzdłuż drugiej prostej. Ma on współrzędne: $\left[-b;a\right]$. Jego koniec znajduje się w punkcie $\left(-b;a\right)$, który leży na prostej.

Wyznaczmy teraz równania prostych zawierających oba wektory.

Jeśli $a=0$ lub $b=0$, to wektory zawarte są w osiach układu współrzędnych, czyli są to wektory prostopadłewektory prostopadłewektory prostopadłe. Jeśli $a\ne 0$ i $b\ne 0$, to ponieważ obie proste przechodzą przez początek układu współrzędnych, ich równania są postaci $y=mx$, gdzie $m$ jest współczynnikiem kierunkowym.

Równanie prostej zawierającej wektor $\left[a;b\right]$ otrzymamy, podstawiając współrzędne punktu $\left(a;b\right)$ do równania $y=mx$:

$b=ma\iff m=\frac{b}{a}$,

czyli prosta ma równanie $y=\frac{b}{a}x$.

Analogicznie wyznaczamy równanie prostej zawierającej wektor $\left[-b;a\right]$:

$y=\frac{-a}{b}x$.

Ponieważ iloczyn współczynników kierunkowych obu prostych jest równy $\left(-1\right)$, to proste są prostopadłe, zatem i wektory $\left[a;b\right]$ oraz $\left[-b;a\right]$ są prostopadłe. Podobnie dowodzimy, że wektory $\left[a;b\right]$ oraz $\left[b;-a\right]$ są prostopadłe.

Przypomnijmy jeszcze tylko, że wektor $\left[ka;kb\right]$, gdzie $k\ne 0$, jest równoległy do wektora $\left[a;b\right]$, zatem jest prostopadły do wektorów $\left[-kb;ka\right]$ oraz $\left[kb;-ka\right]$.

Rozstrzygniemy, czy podane niżej wektory są prostopadłe. Wektor $\left[1;-3\right]$ jest prostopadły do wektora $\left[6;2\right]$, bo $1·6+\left(-3\right)·2=6-6=0$. Wektor $\left[1;-3\right]$ nie jest prostopadły do wektora $\left[6;3\right]$, bo $1·6+\left(-3\right)·3=6-9=-3\ne 0$.

Wyznaczymy wartości parametru $m$ tak, aby wektory $\left[m+1;3\right]$ i $\left[2;-m\right]$ były prostopadłe. Aby wektory były prostopadłe wystarczy, aby spełnione było równanie $2\left(m+1\right)-3m=0$, którego rozwiązaniem jest $m=2$.

niezerowe wektory, które są zawarte w prostych prostopadłych

niezerowe wektory o współrzędnych $\left[a;b\right]$ i $\left[c;d\right]$ są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek $ac+bd=0$.