Przeczytaj
Na początku przypomnijmy definicje oraz wzory, które będą przydatne podczas rozwiązywania zadań na tej lekcji.
Prostopadłościan to wielościan o trzech parach przeciwległych równoległych ścian, które są prostokątami.
ProstopadłościanProstopadłościan ma sześć ścian, osiem wierzchołków oraz dwanaście krawędzi.
Dla prostopadłościanu o długościach krawędzi podstawy i oraz wysokości prawdziwe są następujące wzory:
objętość prostopadłościanu ,
pole powierzchni całkowitej ,
pole powierzchni bocznej ,
długość przekątnej prostopadłościanu .
Wzór na długość przekątnej prostopadłościanu wyprowadzamy korzystając dwukrotnie z Twierdzenia Pitagorasa:
wyznaczając kwadrat długości przekątnej podstawy: ,
wyznaczając kwadrat długości przekątnej prostopadłościanu: , stąd i dalej .
Sześcian to prostopadłościan, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami.
Objętość sześcianu .
Pole powierzchni całkowitej .
Pole powierzchni bocznej .
Długość przekątnej sześcianu .
W zadaniach z kontekstem praktycznym mamy często do czynienia z takimi wielkościami jak gęstośćgęstość materiału, gramatura papierugramatura papieru czy wydajność urządzenia. Niezawodnym sposobem na wydedukowanie tego, jakim wzorem obliczana jest dana wielkość, jest zwrócenie uwagi na jednostkę, w jakiej jest wyrażana. I tak, jeżeli wydajność wentylatora podana jest w oznacza to, że aby ją wyliczyć, należy podzielić objętość pomieszczenia (w metrach sześciennych) przez czas, w którym zostanie wymienione całe powietrze z tego pomieszczenia (w godzinach).
Czy wentylator o wydajności wymieni w ciągu minut całe powietrze z pomieszczenia o wymiarach ?
Rozwiązanie:
Objętość tego pomieszczenia wynosi .
Obliczamy, ile powietrza wymienia ten wentylator w ciągu minut, czyli w ciągu :
Wentylator w ciągu minut wymieni powietrza.
Odp. Danemu wentylatorowi nie wystarczy minut na wymianę całego powietrza w tym pomieszczeniu.
Jakie wymiary ma jednokilogramowa sześcienna sztabka czystego złota? Wykonaj obliczenia wiedząc, że gęstość złota wynosi .
Rozwiązanie:
Z gęstości złota dowiadujemy się, że tego kruszcu waży ponad ton. Chcąc obliczyć wymiary jednokilogramowej sztabki, zamieniamy jednostkę na kilogram na centymetr sześcienny.
Z definicji gęstości wynika, że: .
Obliczamy objętość jednokilogramowej sztabki złota.
Objętość sześcianusześcianu o krawędzi wyraża się wzorem , zatem:
Odp. Jednokilogramowa sześcienna sztabka czystego złota ma krawędź długości ok. .
Ile waży puste prostopadłościenne pudło o wymiarach zbudowane z papieru o gramaturze ?
Rozwiązanie:
Zauważmy, że w definicji gramatury papieru nie ma znaczenia jego grubość, a jedynie pole powierzchni arkusza (jest wyrażana w gramach na metr kwadratowy). W związku z tym, aby obliczyć masę papieru potrzebnego do zbudowania pudła, potrzebujemy pola powierzchni całkowitej prostopadłościanu.
Masę wyrażoną w gramach obliczamy następująco:
Odp. Pudło waży .
Pan Adam dysponuje samochodem dostawczym o przestrzeni bagażowej będącej prostopadłościanem o wewnętrznych wymiarach (długość szerokość wysokość) , spód bagażnika jest zawieszony nad ziemią. Pan Adam chce przewieźć tym autem pręt o długości , mocując go po przekątnej całej przestrzeni, jednak pręt wystaje. Okazuje się, że trasa przejazdu przebiega pod wiaduktem o wysokości . Czy panu Adamowi uda się w ten sposób przetransportować załadunek? Grubość pręta uważamy za pomijalną.
Rozwiązanie:
Najpierw obliczamy, jaka jest długość przekątnej przestrzeni bagażowej, czyli jaka część pręta zmieści się w samochodzie.
Zatem co najmniej pręta będzie przewożone wewnątrz auta.
Pozostaje jeszcze pręta, który będzie wystawał. Rzutując prostopadle odcinek oznaczający pręt na płaszczyznę podstawy otrzymujemy boki trójkąta prostokątnego .
Trójkąty oraz są podobne z cechy kąt, kąt, kąt, ponieważ oba są prostokątne i mają wspólny kąt o mierze (zatem ). Z tego faktu wynika, że:
Spód bagażnika jest umieszczony nad ziemią, zatem górny koniec pręta znajduje się niżej niż .
Odp. Pan Adam może przetransportować pręt w zaplanowany sposób.
Słownik
to wielościan o trzech parach przeciwległych równoległych ścian, które są prostokątami
to prostopadłościan, którego wszystkie ściany są przystającymi kwadratami
stosunek masy pewnej ilości substancji do zajmowanej przez nią objętości:
masa wyrobu papierniczego wyrażona w gramach podana na metr kwadratowy