Warto przeczytać

Model gazu doskonałego

Przyjmuje się następujące założenia definiujące gaz doskonały:

1. Gaz doskonały składa się z ogromnej liczby cząsteczek poruszających się zupełnie losowo - chaotycznie (Rys. 1.). Wszystkie kierunki ruchu cząsteczek są jednakowo prawdopodobne, zaś ich zderzenia wzajemne lub zderzenia ze ściankami naczynia możemy opisywać stosując zasady dynamiki Newtona.

2. Cząsteczki gazu traktujemy, jak identyczne punkty materialneMasa punktowapunkty materialne. Rozmiary cząsteczek są zaniedbywalnie małe w porównaniu ze średnimi odległościami między cząsteczkami.

3. Zderzenia cząsteczek są sprężyste i krótkotrwałe. W zderzeniach spełnione są zasady zachowania energii kinetycznej i pędu.

4. Poza zderzeniami cząsteczki nie oddziałują ze sobą. Zakładamy, że zasięg sił oddziaływania międzycząsteczkowego jest mały w porównaniu z odległościami między cząsteczkami. Oznacza to, że pomiędzy zderzeniami cząsteczki poruszają się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

R19EESggSIrg0

Rys. 1. Rysunek przedstawia dwa naczynia w kształcie sześcianu. W naczyniu po lewej rozmieszczono kilka małych, kolorowych kulek, które symbolizują cząsteczki gazu. Kulki mają zaznaczone wektory skierowane w różnych kierunkach. Nad naczyniem umieszczono opis wielka litera N równa się dziesięć. W naczyniu po prawej, podobnych kulek jest bardzo dużo, wypełniają prawie całą przestrzeń naczynia. Przy każdej cząsteczce narysowany jest wektor prędkości. Wektory te mają przypadkowe kierunki i długości. Nad naczyniem umieszczono opis wielka litera N równa się trzysta.

Od czego zależy ciśnienie wywierane przez gaz na ścianki naczynia?

Wyobraźmy sobie gaz umieszczony w naczyniu. Jak to się dzieje, że gaz będący zbiorem cząsteczek wywiera ciśnienie na ścianki naczynia? Zgodnie z definicją, ciśnienie gazu $p$ to siła, z jaką gaz działa na jednostkową powierzchnię. Skąd bierze się ta siła?

Rozważmy pojedynczą cząsteczkę gazu, którą będziemy nazywali $i$-tą cząsteczką (ta nazwa pochodzi od numeru cząsteczki, który może być równy $i=1,2,3,\dots,N$, gdzie $N$ to liczba cząsteczek w zadanej objętości; mówiąc o $i$-tej cząsteczce, a nie o pierwszej, drugiej, czy setnej, zaznaczamy, że zajmujemy się pewną losowo wybraną cząsteczką). Gdy taka cząsteczka zderza się ze ścianką naczynia, przy odbiciu od niej, w bardzo krótkim przedziale czasu $\Delta t$, doznaje zmiany wektora pędu $\Delta\vec{p_i}$. Zgodnie z drugą zasadą dynamiki, zmiana pędu ciała (tutaj cząsteczki gazu) jest spowodowana tym, że podczas zderzenia ścianka działa na cząsteczkę siłą równą: $\vec{F_i^{\text{'}}}=\frac{\Delta\vec{p_i}}{\Delta t}$. Z trzeciej zasady dynamiki wynika zaś to, że jeśli ścianka działa na cząsteczkę pewną siłą, to cząsteczka też działa na ściankę siłą, równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną:

W ten oto sposób odpowiedzieliśmy na pytanie: Skąd w gazie bierze się siła, która powoduje powstanie ciśnienia. Nie pozostaje nam nic innego, jak wyznaczyć wartość tej siły.

RWQAmPvvfXRNz

Rys. 2. Na rysunku po prawej zaznaczono pionową ściankę naczynia. Po lewej narysowano prostoliniowy tor cząsteczki, zbliżającej się do ścianki na ukos od dołu. Cząsteczka przedstawiona jest jako czerwona kulka. Przy cząsteczce narysowano wzdłuż toru wektor prędkości oznaczony małą literą v z indeksem dolnym małe i. Wektor prędkości skierowany jest w stronę ścianki. Wektor prędkości został rozłożony metodą równoległoboku na dwie składowe. Jedna składowa wektora prędkości skierowana jest prostopadle do pionowej ścianki i oznaczona małą literą v z indeksem dolnym małe litery ix. Składowa ta zwrócona jest w prawo. Zaznaczony jest kąt między wektorem prędkości małe v z indeksem dolnym małe i a składową wektora prędkości skierowaną prostopadle do ścianki v z indeksem dolnym ix. Kąt ten oznaczony jest grecką literą alfa. Druga składowa wektora prędkości skierowana jest równolegle do pionowej ścianki i oznaczona małą literą v z indeksem dolnym małe litery iy. Składowa ta zwrócona jest do góry. W punkcie zderzenia cząsteczki ze ścianką narysowano linię prostą prostopadłą do ścianki. Zaznaczono kąt między linią a torem cząsteczki. Kąt ten oznaczono grecką literą alfa. Z punktu zderzenia wychodzi na ukos w górę i w lewo linia prosta przedstawiająca tor cząsteczki po odbiciu od ścianki. Między torem cząsteczki odbitej a linią prostopadłą do ścianki zaznaczono kąt opisany grecką literą alfa. Przy cząsteczce znajdującej się na torze po odbiciu od ścianki narysowano wzdłuż toru wektor prędkości oznaczony małą literą v prim z indeksem dolnym małe i. Wektor prędkości skierowany jest w stronę przeciwną do ścianki. Wektor prędkości został rozłożony metodą równoległoboku na dwie składowe. Jedna składowa wektora prędkości skierowana jest prostopadle do pionowej ścianki i oznaczona małą literą v prim z indeksem dolnym małymi literami ix. Składowa ta zwrócona jest w lewo. Zaznaczono kąt między wektorem prędkości małe v prim z indeksem dolnym i a składową wektora prędkości skierowaną prostopadle do ścianki małe v prim z indeksem dolnym małymi literami ix. Kąt ten oznaczono grecką literą alfa. Druga składowa wektora prędkości skierowana jest równolegle do pionowej ścianki i oznaczona małą literą v prim z indeksem dolnym małymi literami iy. Składowa ta zwrócona jest do góry.

Aby wyznaczyć siłę $\vec{F_i}$, z jaką podczas pojedynczego zderzenia $i$-ta cząsteczka działa na ściankę naczynia zbadamy, co się dzieje z pędem $\vec{p_i}$ cząsteczki podczas takiego zderzenia. Załóżmy, że cząsteczka ma masę $m$, a jej chwilowa prędkość przed zderzeniem $\vec{v_i}$, tworzy kąt $\alpha$ ze ścianką naczynia (Rys. 2.). Dalej, dla uproszczenia, będziemy analizować dwuwymiarową, a nie trójwymiarową, cząsteczkę. Będziemy też zakładać, że zderzenie ma charakter idealnie sprężysty (prędkość cząsteczki po zderzeniu $\vec{v_i^{\text{'}}}$ ma taką samą wartość, jak przed zderzeniem $|\vec{v_i^{\text{'}}}|=|\vec{v_i}|$), a ścianki naczynia są idealnie gładkie (kąt padania jest równy kątowi odbicia). Czy patrząc na Rys. 2., dostrzegasz, że w wyniku zderzenia zmienił się kierunek wektora prędkości $\vec{v_i}$, a konkretnie:

• prostopadła do ścianki składowa wektora prędkości zmieniła znak na przeciwny: $\vec{v_{ix}^{\text{'}}}=-\vec{v_{ix}}$, zaś

• równoległa do ścianki składowa prędkości pozostała taka sama: $\vec{v_{iy}^{\text{'}}}=\vec{v_{iy}}$.

Innymi słowy, w wyniku zderzenia ze ścianką wektor prędkości cząsteczki zmienił się w następujący sposób:

gdzie $v_i=|\vec{v_i}|$. Zmienił się też pęd cząsteczki:

Podsumowując, podczas pojedynczego zderzenia ze ścianką, siła z jaką cząsteczka działa na ściankę jest równa (por. równ. (1)):

Siła ta jest prostopadła do ścianki i ma wartość:

To jeszcze nie jest koniec obliczeń. Aby wyznaczyć ciśnienie gazu $p$ trzeba jeszcze oszacować, ile razy $n_i$ w czasie $\Delta t$ badana cząsteczka uderzyła w ściankę naczynia.

R1Ok86QZymFCQ

Rys. 3. Na rysunku pokazano okrąg przedstawiający ściankę kulistego naczynia. Wewnątrz okręgu narysowano prostoliniowy tor cząsteczki. W punktach, w których cząsteczka zderza się ze ścianką, narysowano promienie oznaczone małą literą r. Podczas każdego odbicia cząsteczki ze ścianką kąt między torem cząsteczki padającej a promieniem jest taki sam, jak kąt między torem cząsteczki odbitej a promieniem. Każdy z tych kątów oznaczono grecką literą alfa. Odcinek toru cząsteczki między kolejnymi odbiciami oznaczony jest małą literą l z indeksem dolnym małe i. Zapisano równanie: małe l z indeksem dolnym małe i równa się 2 razy r razy cosinus alfa.

Aby oszacować tę liczbę (tj. $n_i$) rozważmy naczynie w kształcie kuli, o promieniu $r$ i objętości $V=\frac{4}{3}\pi r^3$. Na Rys. 3. czerwoną linią zaznaczono tor cząsteczki w takim naczyniu. Zauważmy, że podczas każdego zderzenia ze ścianką naczynia, kąt padania i odbicia są takie same, a między kolejnymi zderzeniami cząsteczka zawsze przebywa taką samą odległość, równą:

Oznacza to, że w czasie $\Delta t$, gdy przebywa ona drogę równą:

średnia liczba jej zderzeń ze ściankami naczynia wynosi

Znając $n_i$ (8) oraz $F_i$ (5) możemy obliczyć, z jaką siłą $i$-ta cząsteczka działa na ścianki naczynia w przedziale czasu $\Delta t$. Wartość tej prostopadłej do ścianek naczynia siły jest równa:

Wartość siły od wszystkich $N$ cząsteczek gazu jest natomiast równa:

Jeśli sumę kwadratów prędkości wszystkich cząsteczek podzielimy przez ich liczbę, otrzymamy średni kwadrat prędkości cząsteczek:

Pierwiastek z wyrażenia $(v^2{)}_{\text{śr}}$ nazywamy prędkością średnią kwadratową i oznaczamy $v_{\text{śr kw}}$:

Korzystając z powyższego oznaczenia, wyrażenie (10) na wartość siły, jaka w jednostce czasu $\Delta t$ działa na ścianki kulistego naczynia, można zapisać w uproszczonej postaci:

Dzieląc tę siłę przez pole powierzchni kuli $S=4\pi r^2$ otrzymamy ciśnienie, jakie cząsteczki gazu wywierają na ścianki naczynia:

W końcu, podstawiając w ostatnim wyrażeniu $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ dostajemy jeden z najważniejszych wzorów teorii kinetyczno‑molekularnej gazu doskonałego:

Prędkość średnia kwadratowa.

Prędkość średnią kwadratową cząsteczek gazu doskonałego można wyznaczyć za pomocą równania (15):

gdzie $M=mN$ jest całkowitą masą gazu. Pamiętając o tym, że stosunek masy do objętości definiuje gęstość: $d=\frac{M}{V}$, wzór (16) można również przepisać w postaci:

Jak widzimy, prędkość średnia kwadratowa zależy od ciśnienia i gęstości gazu. Okazuje się, że dla typowo spotykanych gazów (np. składników powietrza), w warunkach zbliżonych do normalnych, prędkość ta jest rzędu setek m/s, a więc znacznie przewyższa ona prędkości spotykane na co dzień.

Średnia energia kinetyczna cząsteczek gazu, a jego temperatura termodynamiczna

Na koniec zastanówmy się, jakie jeszcze wnioski można wyciągnąć z wyrażenia (15). Zauważmy, że jeśli licznik i mianownik prawej strony równ. (15) pomnożymy przez 2, to otrzymamy:

W powyższym wyrażeniu, drugi z czynników mamy prawo nazwać średnią energią kinetyczną cząsteczek gazu. Zależność (15) możemy zatem zapisać w postaci:

Zauważamy podobieństwo tej zależności do równania Clapeyrona:

będącego równaniem stanu gazo doskonałego. W powyższym równaniu $T$ oznacza temperaturę w skali Kelwina, $n$ - liczbę moli gazu, zaś $R$ jest stałą gazową.

Porównując prawe strony wyrażeń (19) i (20) i dostajemy:

Z ostatniej zależności możemy wyznaczyć średnią energię kinetyczną cząsteczek w zależności od temperatury:

Liczbę cząsteczek $N$ możemy zapisać jako iloczyn liczby moli $n$ i liczby cząsteczek w 1 molu gazu $N_A$ (liczby Avogadro), $N=n{N}_A$. Wzór (22) przybierze wówczas postać:

We wzorze tym występują dwie stałe: stała gazowa $R$ i liczba Avogadro $N_A$. Ich iloraz definiuje tzw. stałą Boltzmanna:

Średnią energię kinetyczną w ruchu postępowym, przypadającą na jedną cząsteczkę gazu, możemy wobec tego przedstawić jako

R1ZpgKjtHfuo7

Rys. 4. Na rysunku przedstawiono dwa naczynia w kształcie sześcianu. Oba naczynia wypełnione są dużą liczbą małych kolorowych kulek, które symbolizują cząsteczki gazu. Przy każdej cząsteczce narysowano wektor prędkości. Wektory te mają przypadkowe kierunki i długości. W naczyniu po lewej przeważają cząsteczki o niebieskiej i zielonej barwie. Ich wektory prędkości mają niewielką długość. Jest też tu kilka cząsteczek pomarańczowych, których wektory prędkości są dłuższe. Nad naczyniem umieszczono wielką literę T z indeksem dolnym jeden. W naczyniu po prawej przeważają cząsteczki o czerwonej, pomarańczowej i żółtej barwie. Ich wektory prędkości są dłuższe. Jest też tu kilka cząsteczek niebieskich i zielonych, których wektory prędkości są krótsze. Nad naczyniem umieszczono opis wielka litera T z indeksem dolnym dwa jest większa od wielka litera T z indeksem dolnym jeden.

Cząsteczki o różnych masach

R1e9GNE7KA97b

Rys. 5. Na rysunku przedstawiono symbolicznie cząsteczki różnych gazów.

Rys. 5a. Pokazano atom neonu, przedstawiony jako mała zielona kulka z symbolem pierwiastka wielka litera Ne oraz atom kryptonu, przedstawiony jako większa żółta kulka z symbolem pierwiastka wielka litera Kr.

Rys. 5b. Pokazano cząsteczkę wodoru, przedstawioną jako połączone dwie małe fioletowe kulki z symbolami pierwiastka wielka litera H oraz cząsteczka tlenu, przedstawiona jako połączone dwie większe czerwone kulki z symbolami pierwiastka wielka litera O.

Rys. 5c. Pokazana jest cząsteczka wody, przedstawiona jako połączone dwie małe kulki wodoru z symbolami pierwiastka wielka litera H oraz większa kulka tlenu z symbolem pierwiastka wielka litera O. Poniżej pokazano cząsteczkę dwutlenku węgla, przedstawioną jako połączone trzy kulki. Dwie z nich czerwone, mają symbol pierwiastka tlenu O, między nimi umieszczono czarną kulkę węgla z symbolem pierwiastka wielka litera C.

Skorzystamy ze wzoru (25) na średnią energię kinetyczną cząsteczek w ich ruchu postępowym:

Jak widać, średnia energia kinetyczna cząsteczek nie zależy od rodzaju gazu i jest jednakowa dla różnych gazów w jednakowej temperaturze.

Aby obliczyć prędkość średnią kwadratową cząsteczek, użyjemy wzoru:

skąd mamy

Masa jednej cząsteczki gazu $m$ to masa 1 mola podzielona przez liczbę Avogadro $N_A=6,023·{10}^{23}\frac{1}{\mathrm{mol}}$.

Masa cząsteczki wodoru wynosi zatem: $m_{H_2}=\frac{0,002\text{ kg}}{6,022\cdot {10}^{23}}=3,3\cdot {10}^{-27}\text{ kg}$, stąd jej prędkość średnia kwadratowa

Analogicznie dla cząsteczki dwutlenku węgla: $m_{{\text{C0}}_2}=\frac{0,044\text{ kg}}{6,022\cdot {10}^{23}}=7,3\cdot {10}^{-26}\text{ kg}$, więc

Z obliczeń tych wynika, że w danej temperaturze średnie energie kinetyczne cząsteczek różnych gazów są jednakowe, ale ich prędkości średnie kwadratowe różnią się, jeśli różne są ich masy molowe. Im większa więc masa cząsteczki, tym mniejsza prędkość średnia kwadratowa.

Czy te obliczenia są właściwe?

To pytanie jest uzasadnione! Założyliśmy przecież, że cząsteczki gazu traktujemy jak identyczne punkty materialne. Wiemy jednak, że cząsteczki wodoru i dwutlenku węgla składają się z atomów, odpowiednio, wodoru oraz węgla i tlenu (Rys. 5.). Mają więc wewnętrzną strukturę. Okazuje się, że otrzymane przez nas wyniki są w dobrym przybliżeniu poprawne, choć strukturę cząsteczek trzeba bez wątpienia uwzględnić przy opisywaniu energii wewnętrznej gazu.

Składa się na nią nie tylko energia kinetyczna w ruchu postępowym cząsteczek, ale także inne formy energii, jak energia kinetyczna ich ruchu obrotowego. Choć ciśnienie wywierane przez gaz zależy tylko od tej pierwszej formy energii, to pozostałe mogą się objawiać przy wymianie energii pomiędzy gazem a otoczeniem. Więcej o tych zagadnieniach możesz przeczytać w e‑materiale „Jaki jest związek pomiędzy temperaturą w skali Kelvina a średnią energią ruchu cząsteczek gazu doskonałego i jego energią wewnętrzną?”.

Słowniczek