Przeczytaj

Dany jest ciąg geometryczny $(a_{n})$ o ilorazie $q$ . Chcemy znaleźć wzór na sumę $S_{n}$ kolejnych $n$ początkowych wyrazów tego ciągu.

W tym celu najpierw przypomnimy sobie wzór na wyraz ogólny ciągu geometrycznego.

Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Wzór ogólny ciągu geometrycznego

Wzór ogólny ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o wyrazie pierwszym $a_{1}$ i ilorazie $q$ ma postać

a_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1}

Wyprowadzając wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu, rozpatrzymy dwa przypadki.

1 przypadek: $q = 1$ .
Jeśli iloraz ciągu jest równy $1$ , to ciąg jest stały. Każdy jego wyraz jest równy wyrazowi pierwszemu. Zatem:
$S_{n} = n \cdot a_{1}$
2 przypadek: $q \neq 1$
Wypiszemy kilka kolejnych sum początkowych wyrazów ciągu, korzystając z przypomnianego wyżej wzoru na $n$ –ty wyraz ciągu (inaczej wzór ogólny ciągu geometrycznego).
$S_{1} = a_{1}$
$S_{2} = a_{1} + a_{1} q$
$S_{3} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2}$
$S_{4} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3}$
$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$
$S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + . . . + a_{1} q^{n - 2} + a_{1} q^{n - 1}$
Mnożymy teraz obie strony ostatniej z zapisanych równości przez $(- q)$ .
$- q S_{n} = - a_{1} q - a_{1} q^{2} - a_{1} q^{3} - a_{1} q^{4} - . . . - a_{1} q^{n - 1} - a_{1} q^{n}$
Dodajemy stronami dwie ostatnie zapisane równości.
$S_{n} = a_{1} + a_{1} q + a_{1} q^{2} + a_{1} q^{3} + . . . + a_{1} q^{n - 2} + a_{1} q^{n - 1} + - q S_{n} = - a_{1} q - a_{1} q^{2} - a_{1} q^{3} - a_{1} q^{4} - . . . - a_{1} q^{n - 1} - a_{1} q^{n}$
$. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .$
$S_{n} (1 - q) = a_{1} (1 - q^{n})$
Wiemy, że $q \neq 1$ , więc można obie strony równości podzielić przez $1 - q$ .
$S_{n} = a_{1} \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$
Ujmijmy teraz powyższe rozważania w postaci odpowiedniego twierdzenia.

Suma

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Twierdzenie: Suma

n

początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

Suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o ilorazie $q$ wyraża się wzorem:

$S_{n} = n \cdot a_{1}$ , gdy $q = 1$ ,

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , gdy $q \neq 1$ .

Przykład 1

Obliczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = - 9$ i $q = \frac{2}{3}$ .

Stosujemy wzór na sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego, gdy $q \neq 1$ .

$S_{4} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{4}}{1 - q}$

$S_{4} = (- 9) \cdot \frac{1 - {(\frac{2}{3})}^{4}}{1 - \frac{2}{3}}$

$S_{4} = (- 9) \cdot \frac{1 - \frac{16}{81}}{\frac{1}{3}}$

$S_{4} = - \frac{65}{3} = - 21 \frac{2}{3}$

Jeżeli iloraz ciągu geometrycznego jest większy od $1$ , to warto korzystać z podanego wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów tego ciągu, w zmodyfikowanej, równoważnej postaci.

Mianowicie, gdy pomnożymy licznik i mianownik ułamka występującego we wzorze przez $(- 1)$ , otrzymamy:

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n} - 1}{q - 1}$ .

Przykład 2

Obliczymy sumę pięciu kolejnych początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ , w którym $a_{1} = 4$ i $q = 2$ .

Korzystamy ze zmodyfikowanego wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_{5} = 4 \cdot \frac{2^{5} - 1}{2 - 1}$

$S_{5} = 124$ .

Nie zawsze ciąg geometryczny jest bezpośrednio opisany za pomocą pierwszego wyrazu i ilorazu. W niektórych przypadkach, trzeba te wielkości najpierw określić, aby następnie obliczyć sumę jego początkowych wyrazów.

Przykład 3

Dany jest ciąg geometryczny nieskończony $(c_{n})$ taki, że $c_{n} = \frac{1}{4} \cdot 5^{n - 1}$ dla $n \geq 1$ . Wyznaczymy sumę czterech kolejnych początkowych wyrazów tego ciągu.

1 sposób:
Wypisujemy cztery początkowe wyrazy ciągu.
$c_{1} = \frac{1}{4}$
$c_{2} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
$c_{3} = \frac{1}{4} \cdot 5^{2} = \frac{25}{4}$
$c_{4} = \frac{1}{4} \cdot 5^{3} = \frac{125}{4}$
Dodajemy otrzymane liczby.
$c_{1} + c_{2} + c_{3} + c_{4} = \frac{1 + 5 + 25 + 125}{4} = \frac{156}{4} = 39$

2 sposób:
Wyznaczamy pierwszy i drugi wyraz ciągu i określamy iloraz ciągu.
$c_{1} = \frac{1}{4}$
$c_{2} = \frac{1}{4} \cdot 5 = \frac{5}{4}$
$q = \frac{\frac{5}{4}}{\frac{1}{4}} = 5$
Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.
$S_{4} = \frac{1}{4} \cdot \frac{5^{4} - 1}{5 - 1}$
$S_{4} = \frac{624}{16} = 39$

W obu przypadkach otrzymaliśmy te same wyniki. Jeśli do dodania jest mała liczba wyrazów ciągu, można stosować oba sposoby. Natomiast, gdy ich liczba jest duża, znacznie wygodniej posłużyć się wzorem.

Przykład 4

Obliczymy sumę $10$ początkowych, kolejnych wyrazów ciągu $1$ , $3$ , $9$ , $27$ , $81$ , $. . .$

Tym razem ciąg określony jest za pomocą jego wyrazów.

Ustalamy pierwszy wyraz i iloraz ciągu.

$a_{1} = 1$

$q = 3$

Korzystamy ze wzoru na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

$S_{10} = 1 \cdot \frac{3^{10} - 1}{3 - 1}$

$S_{10} = \frac{59049 - 1}{2} = 29524$ .

W następnych przykładach pokażemy, jak znając sumę kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego wyznaczyć niektóre z wielkości związanych z danym ciągiem.

Przykład 5

Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy $5$ , a iloraz ciągu $2$ . Ustalimy, ile początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu należy dodać, aby otrzymać $20475$ .

Oznaczmy przez $n$ szukaną liczbę wyrazów.

Liczba $20475$ to suma $n$ kolejnych wyrazów ciągu, zatem

$5 \cdot \frac{2^{n} - 1}{2 - 1} = 20475 | : 5$

$2^{n} - 1 = 4095$

$2^{n} = 4096$

$n = 12$

Odpowiedź:

Należy dodać $12$ wyrazów tego ciągu.

Przykład 6

Suma sześciu początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ jest równa $\frac{63}{80}$ . Znajdziemy wzór ogólny tego ciągu, jeżeli iloraz ciągu jest równy $\frac{1}{2}$ .

Podstawiamy dane do wzoru na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

$a_{1} \cdot \frac{1 - {(\frac{1}{2})}^{6}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{63}{80}$

Wykonujemy wskazane działania.

$a_{1} \cdot \frac{\frac{63}{64}}{\frac{1}{2}} = \frac{63}{80}$

$a_{1} \cdot \frac{126}{64} = \frac{63}{80} : \frac{126}{64}$

$a_{1} = \frac{2}{5}$

Zapisujemy wzór ogólny ciągu.

$a_{n} = \frac{2}{5} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ .

Przykład 7

Suma $n$ początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznegoSuma $n$ początkowych wyrazów pewnego ciągu geometrycznego $(b_{n})$ wyraża się wzorem $S_{n} = 3^{n} - 1$ . Obliczymy $b_{3} - b_{1}$ .

Pierwszy wyraz ciągu jest równy $S_{1}$ . Zatem:

$b_{1} = S_{1} = 3 - 1 = 2$

Zauważmy, że

$S_{3} = b_{1} + b_{2} + b_{3} = S_{2} + b_{3}$

Wynika z tego, że

$b_{3} = S_{3} - S_{2}$

$b_{3} = 3^{3} - 1 - (3^{2} - 1) = 18$

Wyznaczamy szukaną różnicę.

$b_{3} - b_{1} = 18 - 2 = 16$

Odpowiedź:

Różnica $b_{3} - b_{1}$ jest równa $16$ .

Słownik

suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego

suma $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego $(a_{n})$ o ilorazie $q$ wyraża się wzorem:

$S_{n} = n \cdot a_{1}$ , gdy $q = 1$ ,

$S_{n} = a_{1} \cdot \frac{1 - q^{n}}{1 - q}$ , gdy $q \neq 1$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik