Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

W tej lekcji zajmiemy się prostymi równoległymi do osi X, czyli, przy tradycyjnym położeniu układu współrzędnych, prostymi poziomymi.

Przykład 1

Naszkicujemy w układzie współrzędnych zbiór wszystkich punktów x,y, które spełniają równanie:

a) y=3,
b) y=-2,
c) y=0.

ad. a)

Zwróćmy uwagę, że w tym równaniu w ogóle nie występuje zmienna x. Oznacza to, że wartość y jest równa 3 niezależnie od tego, ile jest równy x. Zatem x może przyjmować dowolną wartość. Zilustrujemy to zjawisko tabelką:

x

-7

-4

-1

2

5

y=3

3

3

3

3

3

Podsumowując, równanie y=3 spełniają na przykład punkty A=-7,3, B=-4,3, C=-1,3, D=2,3, E=5,3

RzENxNGFkV1AS
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Zauważmy, że po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych układają się one wzdłuż prostejprostaprostej o równaniu y=3.

R1PWk6YT9RUdM
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
ad. b)

W tym równaniu również nie występuje zmienna x. Oznacza to, że dla dowolnego x wartość zmiennej y zawsze równa będzie -2. Możemy tę zależność zilustrować tabelką:

x

-7

-4

-1

2

5

y=-2

y=-2

y=-2

y=-2

y=-2

y=-2

Zwróćmy jeszcze uwagę, że liczby x wybraliśmy zupełnie losowo. Równanie y=-2 jest spełnione przez punkty A=-7,-2, B=-4,-2, C=-1,-2, D=2,-2, E=5,-2.

R9fPRs8pkQ2G7
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych możemy przez nie poprowadzić prostą o równaniu y=-2.

RsbyYIVULtg3P
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
ad. c)

W tym równaniu również nie występuje zmienna x, więc wartość y jest równa 0, niezależnie od wartości x. Zilustrujmy to tabelką:

x

-7

-4

-1

2

5

y=0

0

0

0

0

0

A zatem równanie y=0 jest spełnione przez punkty A=-7,0, B=-4,0, C=-1,0, D=2,0, E=5,0.

RJEFxwg2a3nB6
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Po zaznaczeniu ich w układzie współrzędnych możemy poprowadzić prostą o równaniu y=0.

RuNNSaKolu7bO
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wniosek

Zbiór wszystkich punktów spełniających równanie y=b ilustruje w układzie współrzędnych prostą równoległą do osi X.

Problem 1
RMAkXR5ldacR1
Wybierz osie, aby uzyskać zdanie prawdziwe. Każda prosta o równaniu Y równa się B otwarcie nawiasu przy czym B to dowolna liczba rzeczywista zamknięcie nawiasu jest równoległa do osi tu wybierz X lub Y i przecina oś tu wybierz X lub Y w punkcie o współrzędnych otwarcie nawiasu zero przecinek B zamknięcie nawiasu.
Przykład 2

W prostokątnym układzie współrzędnych narysujmy zbiór punktów spełniających podane równanie:

a) y=3,
b) y-1=3,
c) y+2=3.

ad. a)

Aby naszkicować wykres tego równania, możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej. Mianowicie wprost z niej wynika, że równanie jest spełnione gdy y=3 lub y=-3. Pierwsze współrzędne punktów x,y mogą być dowolne. Zatem wykresem równania y=3 jest suma dwóch prostych o równaniach y=3, y=-3.

R1V1ddXPwJGWw
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Aby zaznaczyć w układzie współrzędnych zbiór punktów spełniających równania y=3, można skorzystać z interpretacji geometrycznej. Przypomnijmy, że wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera na osi liczbowej. Zatem zbiorem punktów, których współrzędne spełniają równanie y=3 są te punkty, które oddalone są od osi X o odległość 3. Punkty te tworzą dwie proste równoległe do osi X odległe od niej o 3 jednostki, co możemy zobaczyć na powyższej ilustracji. Proste te mają wzory: y=3 oraz y=-3.

ad. b)

Aby naszkicować wykres tego równania możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej. Wprost z definicji wynika, że równanie jest spełnione gdy y-1=3 lub y-1=-3. Czyli równoważnie y=4 lub y=-2. Pierwsze współrzędne punktów x,y należących do opisanego zbioru mogą być dowolne. Zatem wykresem równania y-1=3 jest suma dwóch prostych o równaniach y=4, y=-2.

R1E8mN3XskJoh
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Korzystając z interpretacji graficznej możemy stwierdzić, że interesują nas wszystkie punkty x,y, dla których pierwsza współrzędna jest dowolna, zaś druga jest liczbą, której odległość od jedynki jest równa 3. W odległości 3 od liczby 1 leżą liczby y=-2 oraz y=4.

ad. c)

Aby naszkicować wykres tego równania możemy skorzystać z definicji wartości bezwzględnej, z której wynika, że równanie jest spełnione gdy y+2=3 lub y+2=-3. Czyli równoważnie y=1 lub y=-5. Pierwsze współrzędne punktów x,y mogą być dowolne. Zatem wykresem równania y+2=3 jest suma dwóch prostych o równaniach y=1, y=-5.

R1HtW5uLb1cU8
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Znając równania prostychprostaprostych równoległych do osi X, możemy opisywać też obszary ograniczone tymi prostymiprostaprostymi. Do ich opisu posłużymy się nierównościami, również z wartościami bezwzględnymi.

Przykład 3

Naszkicuj zbiory punktów opisane przez poniższe nierówności:

a) y>-1,
b) y2,
c) y<3,
d) y-2.

ad. a)

W obszarze naszych zainteresowań tym razem znalazły się wszystkie punkty x,y, których współrzędna x jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś druga jest większa od -1. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą ponad prostą o równaniu y=-1, ale bez tej prostej. Dla podkreślenia, że punkty należące do tej prostej nie należą do szukanego przez nas obszaru, będziemy rysować ją linią przerywaną.

R16i2CJAmgV5d
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
ad. b)

Tym razem interesują nas wszystkie punkty x,y, których współrzędna x jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś druga jest niemniejsza (większa lub równa) od 2. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą ponad prostą o równaniu y=2 lub na tej prostej. Dlatego ta prosta będzie narysowana linią ciągłą.

R16VZZWvZ7I5J
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
ad. c)

Tym razem interesują nas wszystkie punkty x,y, których współrzędna x jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś y jest liczbą mniejszą od 3. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy:

R1ZrkeGxJHeXd
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
ad. d)

Tym razem interesują nas wszystkie punkty x,y, których współrzędna x jest dowolną liczbą rzeczywistą, zaś y jest liczbą niewiększą (mniejszą lub równą) od -2. Zatem w układzie współrzędnych zaznaczymy wszystkie punkty, które leżą pod prostą o równaniu y=-2 lub na tej prostej. Dlatego ta prostaprostaprosta będzie narysowana linią ciągłą.

RSuAqRpQCHCwH
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
Przykład 4

Naszkicujemy zbiory punktów opisane przez poniższe nierówności z wartościami bezwzględnymi.

a) y<1,
b) y3,
c) y>2,
d) y4.

ad. a)

Zauważmy najpierw, że współrzędna x każdego punktu x,y zbioru opisanego przez nierówność y<1 może być dowolną liczbą. Z własności wartości bezwzględnej wynika, że -1<y<1. W praktyce oznacza to, że szukany obszar jest zawarty pomiędzy prostymi o równaniach y=-1y=1, ale żadna z tych prostych nie należy do tego obszaru – dlatego będą narysowane liniami przerywanymi.

R1E016ZlW7mRa
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Równoważnie moglibyśmy skorzystać z interpretacji geometrycznej wartości bezwzględnej. Mianowicie nierówność y<1 oznacza wszystkie liczby y, których odległość od zera na osi Y jest mniejsza od 1. Zatem będą to liczby y-1,1. Współrzędna x nadal może być dowolną liczbą rzeczywistą.

ad. b)

Tym razem nierówność y3 możemy przedstawić równoważnie jako nierówność podwójną -3y3. Ponieważ pierwsza współrzędna szukanych punktów x,y może być dowolna, zatem interesuje nas obszar pomiędzy prostymi o równaniach y=3y=-3 wraz z tymi prostymi. Z interpretacji geometrycznej wynika, że nierówność y3 to zbiór wszystkich liczb y, które leżą w odległości co najwyżej 3 jednostek od zera na osi Y. Oczywiście oznacza to, że y-3,3.

RRJp3WfV2RF8w
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.
ad. c)

Tym razem nierówność y>2 możemy przedstawić jako alternatywę y>2 lub y<-2. Współrzędna x szukanych punktów x,y może być dowolną liczbą rzeczywistą, zatem interesujące nas punkty, które leżą nad prostą o równaniu y=2 lub pod prostą o równaniu y=-2, ale nie należą do tych prostych.

R1dv70PwFjV7U
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Geometrycznie nierówność y>2 można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb y, których odległość od zera na osi Y jest większa od 2. Zatem y-,-22,+. Współrzędna x szukanych punktów x,y ponownie może przyjmować dowolną wartość.

ad. d)

Tym razem nierówność y4 możemy przedstawić jako alternatywę y4 lub y-4. Pierwsza współrzędna szukanych punktów x,y może być dowolną liczbą, zatem interesujące nas punkty leżą nad prostą o równaniu y=4 lub pod prostą o równaniu y=-4, lub na tych prostych.

RErYX3hS2LSE7
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Geometrycznie nierówność y4 można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb y, których odległość od zera na osi Y jest niemniejsza od 4. Zatem y-,-44,+. Współrzędna x szukanych punktów x,y ponownie może przyjmować dowolną wartość.

Przykład 5

Naszkicujemy zbiory punktów opisane przez poniższe nierówności z wartościami bezwzględnymi.

a) y-3>2
b) y+41

ad. a)

Powyższa nierówność jest równoważna alternatywie nierówności y-3>2 lub y-3<-2, zatem równoważnie y>5 lub y<1. Wobec tego interesujące nas punkty leżą ponad prostą o równaniu y=5 lub pod prostą o równaniu y=1, ale nie na tych prostych, które w związku z tym rysujemy linią przerywaną.

RppKQkOwN5K2O
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Geometrycznie nierówność y-3>2 można zinterpretować jako zbiór wszystkich liczb y, których odległość od liczby trzy na osi Y jest większa od 2. Zatem y-,15,+. Współrzędna x szukanych punktów x,y ponownie może przyjmować dowolną wartość rzeczywistą.

ad. b)

Powyższa nierówność jest równoważna nierówności podwójnej -1y+41 -4

-1-4y+4-41-4

-5y-3

Wobec tego interesujące nas punkty leżą pomiędzy prostymi o równaniach y=-5 oraz y=-3 lub na tych prostych. Linie oznaczające te proste rysujemy w sposób ciągły.

RTVepkrw1Vd76
Źródło: GroMar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Słownik

prosta
prosta

w geometrii euklidesowej: pojęcie pierwotnepojęcie pierwotnepojęcie pierwotne
w geometrii analitycznej: zbiór wszystkich punktów o współrzędnych x,y, które spełniają równanie liniowe Ax+By+C=0, przy założeniu, że A i B nie są jednocześnie zerami

pojęcie pierwotne
pojęcie pierwotne

to pojęcie na tyle intuicyjnie zrozumiałe i proste, że w danej teorii matematycznej nie wymaga definiowania lub jego zdefioniowanie nie jest możliwe; dzięki niemu można zdefiniować każde inne pojęcie, czyli każde pojęcie matematyczne, które nie jest pojęciem pierwotnym, musi zostać zdefiniowane