Przeczytaj

Warto przeczytać

Jaki będzie moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności walca, który nie będzie cienkościenny, ale będzie rurą, której ścianka ma niezerową grubość? Bryłę tę można nieformalnie nazwać wydrążonym walcem. Oznaczmy jego wewnętrzny promień jako $R_{1}$ , a zewnętrzny jako $R_{2}$ . Wysokość walca niech będzie równa $h$ (zob. Rys. 1).

R1VksmCi06Lnh

Rys. 1. Na rysunku jest pionowa rura, której boczne powierzchnie są powierzchniami walców o promieniach wielkie R z indeksem dolnym 1 oraz wielkie R z indeksem dolnym 2. Narysowano pionową oś oznaczoną literą wielkie Z i skierowaną do góry, która pokrywa się z osią symetrii rury. Wysokość rury oznaczono literą małe h. — Rys. 1. Rura o grubej ściance – promień wewnętrzny R₁, promień zewnętrzny R₂, wysokość h.

Na początek wyobraźmy sobie lity (tj. niewydrążony) walec o promieniu $R_{2}$ . Jego moment bezwładności oznaczmy jako $I_{w 2_{}}$ . Podzielmy teraz walec na dwie części: wewnętrzny o promieniu $R_{1}$ oraz rurę o promieniu wewnętrznym $R_{1}$ i zewnętrznym $R_{2}$ . Momenty bezwładności wewnętrznego walca i rury oznaczmy odpowiednio: $I_{w 1}$ oraz $I_{x}$ . Z addytywności momentu bezwładności wynika następujący związek między momentem bezwładności rury i momentami bezwładności obydwu walców (więcej na ten temat dowiesz się po przeczytaniu materiału pt. Masa i moment bezwładności punktu materialnego i bryły sztywnej ):

I_{x} = I_{w 2} - I_{w 1} .

Ponieważ wiemy, że moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności litego walca o masie $m$ i promieniu $R$ wynosi $I_{w} = \frac{1}{2} m R^{2}$ (więcej na ten temat dowiesz się po przeczytaniu materiału pt. Momenty bezwładności ciał dla różnych jednorodnych brył ), możemy napisać:

I_{x} = I_{w 2} - I_{w 1} = \frac{1}{2} m_{2} R_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} R_{1}^{2},

gdzie $m_{1}$ i $m_{2}$ oznaczają masy obydwu walców.

Powyższy wzór można znacząco uprościć. W tym celu załóżmy, że rura jest wykonana z jednorodnego materiału o gęstości $ρ$ . Oczywiście to samo założenie dotyczy obydwu walców. Dzięki temu założeniu masy wszystkich elementów badanego układu można zastąpić iloczynami odpowiednich objętości i gęstości:

m_{1} = π R_{1}^{2} h ρ,

m_{2} = π R_{2}^{2} h ρ,

wobec tego masa rury wynosi

m_{x} = m_{2} - m_{1} = π h ρ (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}),

Podstawiając wyrażenia opisujące masy walców ( $m_{1}$ i $m_{2}$ ) do wzoru na moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności rury, dostajemy:

I_{x} = \frac{1}{2} m_{2} R_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} R_{1}^{2} = \frac{1}{2} π R_{2}^{2} h ρ R_{2}^{2} - \frac{1}{2} π R_{1}^{2} h ρ R_{1}^{2} = \frac{1}{2} π h ρ (R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) .

Następnie, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dla $R_{2}^{2}$ oraz $R_{1}^{2}$ , dostajemy:

I_{x} = \frac{1}{2} πhρ (R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) = \frac{1}{2} πhρ (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) .

W końcu, wykorzystując w ostatniej zależności wcześniej zapisane wyrażenie na masę rury $m_{x}$ dostajemy:

I_{x} = \frac{1}{2} π h ρ (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) = \frac{1}{2} m_{x} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) .

Podsumowując: Moment bezwładności rury o masie $m_{x}$ , promieniu wewnętrznym $R_{1}$ i promieniu zewnętrznym $R_{2}$ jest równy $I_{x} = \frac{1}{2} m_{x} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$ .

Zwróćmy uwagę na dwa skrajne przypadki rozmiarów rury:

Jeśli promień wewnętrzny wynosi $, 0$ , otrzymamy pełny walec o promieniu podstawy $R_{2}$ . W takiej sytuacji wzór opisujący moment bezwładności rury upraszcza się do wzoru opisującego moment bezwładności litego walca $I_{w} = \frac{1}{2} m R_{}^{2}$ .
Jeśli promień $R_{1}$ będzie w przybliżeniu równy $R_{2}$ , czyli rura będzie miała bardzo cienką ściankę, to otrzymamy: $I_{x} = \frac{1}{2} m_{x} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) \approx \frac{1}{2} m_{x} (R_{1}^{2} + R_{1}^{2}) = \frac{1}{2} m_{x} 2 R_{1}^{2} = m_{x} R_{1}^{2} .$ Uzyskany wzór opisuje moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności cienkościennej obręczy (zob. materiał pt. Momenty bezwładności ciał dla różnych jednorodnych brył ).

Słowniczek

Moment bezwładności

(ang.: moment of inertia) miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek