Przeczytaj

Warto przeczytać

Jaki będzie moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności walca, który nie będzie cienkościenny, ale będzie miał „grubą” ściankę? Oznaczmy jego wewnętrzny promień jako $R_{1}$ , a zewnętrzny jako $R_{2}$ . Wysokość walca niech będzie równa $h$ (zob. Rys. 1).

R1VksmCi06Lnh

Rys. 1. Rura o grubej ściance – promień wewnętrzny R₁, promień zewnętrzny R₂, wysokość h.

Na początek, wyobraźmy sobie lity (tj. wypełniony w środku) walec o promieniu $R_{2}$ . Jego moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności oznaczmy jako $I_{w 2_{}}$ . Podzielmy go na dwie części: wewnętrzny walec o promieniu $R_{1}$ oraz rurę o promieniu wewnętrznym $R_{1}$ , a zewnętrznym $R_{2}$ . Momenty bezwładnościMoment bezwładnościMomenty bezwładności wewnętrznego walca i rury oznaczmy odpowiednio: $I_{w 1}$ oraz $I_{x}$ . Między momentem bezwładnościMoment bezwładnościmomentem bezwładności rury i momentami bezwładnościMoment bezwładnościmomentami bezwładności obydwu walców ilościowy związek (więcej na ten temat dowiesz się po przeczytaniu materiału pt. Masa i moment bezwładności punktu materialnego i bryły sztywnej ):

I_{x} = I_{w 2} - I_{w 1} .

Ponieważ wiemy, że moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności litego walca o masie $m$ i promieniu $R$ wynosi $I_{w} = \frac{1}{2} m R^{2}$ (więcej na ten temat dowiesz się po przeczytaniu materiału pt. Momenty bezwładności ciał dla różnych jednorodnych brył ), możemy napisać:

I_{x} = I_{w 2} - I_{w 1} = \frac{1}{2} m_{2} R_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} R_{1}^{2},

gdzie $m_{1}$ i $m_{2}$ oznaczają masy obydwu walców.

Powyższy wzór można znacząco uprościć. W tym celu załóżmy, że rura jest wykonana z jednorodnego materiału o gęstości $ρ$ . Oczywiście, to samo założenie dotyczy obydwu walców. Dzięki temu założeniu masy wszystkich elementów badanego układu można zapisać w następujący sposób:

m_{1} = π R_{1}^{2} h ρ,

m_{2} = π R_{2}^{2} h ρ,

m_{x} = m_{2} - m_{1} = π h ρ (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}),

gdzie $m_{x}$ oznacza masę rury, a $h$ jej wysokość.

Podstawiając wyrażenia opisujące masy walców ( $m_{1}$ i $m_{2}$ ) do wzoru na moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności rury, dostajemy:

I_{x} = \frac{1}{2} m_{2} R_{2}^{2} - \frac{1}{2} m_{1} R_{1}^{2} = \frac{1}{2} π R_{2}^{2} h ρ R_{2}^{2} - \frac{1}{2} π R_{1}^{2} h ρ R_{1}^{2} = \frac{1}{2} π h ρ (R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) .

Następnie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , gdzie za $a$ podstawiamy $R_{2}^{2}$ , a za $b$ wstawiamy $R_{1}^{2}$ , dostajemy:

I_{x} = \frac{1}{2} πhρ (R_{2}^{4} - R_{1}^{4}) = \frac{1}{2} πhρ (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) .

W końcu, wykorzystując w ostatniej zależności wcześniej zapisane wyrażenie na masę rury $m_{x}$ dostajemy:

I_{x} = \frac{1}{2} π h ρ (R_{2}^{2} - R_{1}^{2}) (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) = \frac{1}{2} m_{x} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) .

Podsumowując: Moment bezwładności rury o masie $m_{x}$ , promieniu wewnętrznym $R_{1}$ i promieniu zewnętrznym $R_{2}$ jest równy: $I_{x} = \frac{1}{2} m_{x} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$ .

Zwróćmy uwagę na dwa skrajne przypadki rozmiarów rury:

Jeśli promień wewnętrzny wyniesie $R_{1} = 0$ otrzymamy pełny walec o promieniu podstawy $R_{2} = R$ . W takiej sytuacji wzór opisujący moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności rury upraszcza się do wzoru opisującego moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności litego walca $I_{w} = \frac{1}{2} m R_{}^{2}$ .
Jeśli promień $R_{1}$ będzie w przybliżeniu równy $R_{2}$ , czyli rura będzie miała bardzo cienką ściankę, to otrzymamy: $I_{x} = \frac{1}{2} m_{x} (R_{1}^{2} + R_{2}^{2}) \approx \frac{1}{2} m_{x} (R_{1}^{2} + R_{1}^{2}) = \frac{1}{2} m_{x} 2 R_{1}^{2} = m_{x} R_{1}^{2} .$ Uzyskany wzór opisuje moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności cienkościennej obręczy (zob. materiał pt. Momenty bezwładności ciał dla różnych jednorodnych brył ).

Słowniczek

Moment bezwładności

(ang.: moment of inertia) miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu.

Wprowadzenie

Film samouczek

Warto przeczytać

Słowniczek