Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Zapisz jako PDF Udostępnij materiał

Warto przeczytać

Jaki będzie moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności walca, który nie będzie cienkościenny, ale będzie miał „grubą” ściankę? Oznaczmy jego wewnętrzny promień jako R1, a zewnętrzny jako R2. Wysokość walca niech będzie równa h (zob. Rys. 1).

R1VksmCi06Lnh
Rys. 1. Rura o grubej ściance – promień wewnętrzny R1, promień zewnętrzny R2, wysokość h.

Na początek, wyobraźmy sobie lity (tj. wypełniony w środku) walec o promieniu R2. Jego moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności oznaczmy jako Iw2. Podzielmy go na dwie części: wewnętrzny walec o promieniu R1 oraz rurę o promieniu wewnętrznym R1, a zewnętrznym R2. Momenty bezwładnościMoment bezwładnościMomenty bezwładności wewnętrznego walca i rury oznaczmy odpowiednio: Iw1 oraz Ix. Między momentem bezwładnościMoment bezwładnościmomentem bezwładności rury i momentami bezwładnościMoment bezwładnościmomentami bezwładności obydwu walców ilościowy związek (więcej na ten temat dowiesz się po przeczytaniu materiału pt. Masa i moment bezwładności punktu materialnego i bryły sztywnej ):

Ix=Iw2Iw1.

Ponieważ wiemy, że moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności litego walca o masie m i promieniu R wynosi Iw=12mR2 (więcej na ten temat dowiesz się po przeczytaniu materiału pt. Momenty bezwładności ciał dla różnych jednorodnych brył ), możemy napisać:

Ix=Iw2Iw1=12m2R2212m1R12,

gdzie m1m2 oznaczają masy obydwu walców.

Powyższy wzór można znacząco uprościć. W tym celu załóżmy, że rura jest wykonana z jednorodnego materiału o gęstości ρ. Oczywiście, to samo założenie dotyczy obydwu walców. Dzięki temu założeniu masy wszystkich elementów badanego układu można zapisać w następujący sposób:

m1=πR12hρ,
m2=πR22hρ,
mx=m2m1=πhρ(R22R12),

gdzie mx oznacza masę rury, a h jej wysokość.

Podstawiając wyrażenia opisujące masy walców (m1m2) do wzoru na moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności rury, dostajemy:

Ix=12m2R2212m1R12=12πR22hρR2212πR12hρR12=12πhρ(R24R14).

Następnie, korzystając ze wzoru skróconego mnożenia: a2b2=(a+b)(ab), gdzie za a podstawiamy R22, a za b wstawiamy R12, dostajemy:

Ix=12πhρ(R24R14)=12πhρ(R22R12)(R12+R22).

W końcu, wykorzystując w ostatniej zależności wcześniej zapisane wyrażenie na masę rury mx dostajemy:

Ix=12πhρ(R22R12)(R12+R22)=12mx(R12+R22).

Podsumowując: Moment bezwładności rury o masie mx, promieniu wewnętrznym R1 i promieniu zewnętrznym R2 jest równy: Ix=12mx(R12+R22).

Zwróćmy uwagę na dwa skrajne przypadki rozmiarów rury:

  • Jeśli promień wewnętrzny wyniesie R1=0 otrzymamy pełny walec o promieniu podstawy  R2=R. W takiej sytuacji wzór opisujący moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności rury upraszcza się do wzoru opisującego moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności litego walca Iw=12mR2.

  • Jeśli promień R1 będzie w przybliżeniu równy R2, czyli rura będzie miała bardzo cienką ściankę, to otrzymamy: Ix=12mx(R12+R22)12mx(R12+R12)=12mx2R12=mxR12. Uzyskany wzór opisuje moment bezwładnościMoment bezwładnościmoment bezwładności cienkościennej obręczy (zob. materiał pt. Momenty bezwładności ciał dla różnych jednorodnych brył ).

Słowniczek

Moment bezwładności
Moment bezwładności

(ang.: moment of inertia) miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu.