Przeczytaj

Tę lekcję rozpoczniemy od konstrukcji wykresu funkcji $y = \cos x$ , gdzie $x \in ℝ$ .

W tym celu wykorzystamy wzór redukcyjny: $\cos x = - \sin (\frac{3 π}{2} - x) = \sin (x - \frac{3 π}{2})$ , który jest prawdziwy dla dowolnej liczby $x \in ℝ$ .

Równość $\cos x = \sin (x - \frac{3 π}{2})$ oznacza, że aby otrzymać wykres funkcji $y = \cos x$ wystarczy przesunąć wykres funkcji $y = \sin x$ o wektor $\vec{w} = [\frac{3 π}{2}, 0]$ .

Zobacz na poniższym rysunku, jak w wyniku przesunięcia z wykresu funkcji $y = \sin x$ powstaje wykres funkcji $y = \cos x$ .

Rn5QsligcHlzx

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X w przedziale 0;3π oraz pionową osią Y w przedziale -1;1 . Na zielono zaznaczony jest na płaszczyźnie wykres funkcji cosinus, a na niebiesko sinus. Na płaszczyźnie zaznaczony jest również poziomy wektor przesunięcia opisany jako w→=3π2,0 i jest on zaczepiony w kilku miejscach wykresów tak, że mamy łącznie pięć takich samych wektorów o różnych punktach zaczepienia. Wektor ten pokazuje, że funkcja sinus przesunięta o 3π2 w prawo, da funkcję cosinus. Najwyżej położony wektor zaczepiony jest w punkcie π2;1, który jest maksimum funkcji sinus. Koniec wektora jest po prawej stronie na maksimum funkcji cosinus w punkcie 2π;1. Kolejne punkty zaczepienia wektora znajdują się również na wykresie funkcji sinus, a ich końce na wykresie funkcji cosinus. Jeden z identycznych wektorów leży także na osi X, pokazując przesunięcie z punktu π;0 należącego do wykresu funkcji sinus do punktu 5π2;0 leżącego na wykresie funkcji cosinus. Ostatni z identycznych wektorów zaczepiony jest w punkcie 3π2;-1, a jego koniec leży w punkcie 3π;-1.

o własnościach funkcji cosinus

Twierdzenie: o własnościach funkcji cosinus

Na podstawie własności funkcji sinus oraz obserwacji wykresu funkcji cosinus możemy opisać wszystkie własności funkcji $y = \cos x$ .

Funkcja cosinus jest funkcją okresową o okresie zasadniczym $T = 2 π$ , gdyż dla każdej liczby $x \in ℝ$ zachodzi równość $\cos (x + 2 π) = \cos x$ .

Funkcja cosinus jest funkcją parzystą, gdyż dla każdego $x \in ℝ$ zachodzi równość $\cos (- x) = \cos x$ .

Zbiorem wartości funkcji cosinus jest przedział $⟨- 1, 1⟩$ .

Wartość największą równą $1$ funkcja cosinus osiąga dla argumentów: $x = 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Wartość najmniejszą równą $(- 1)$ funkcja osiąga dla argumentów: $x = π + 2 k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Miejscami zerowymi funkcji cosinus są argumenty: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja jest rosnąca w przedziałach: $⟨- π + 2 k π, 2 k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Funkcja jest malejąca w przedziałach: $⟨2 k π, π + 2 k π⟩$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Opiszmy własności geometryczne wykresu funkcji cosinus:

o własnościach geometrycznych wykresu funkcji cosinus

Twierdzenie: o własnościach geometrycznych wykresu funkcji cosinus

1. Osią symetrii wykresu funkcjioś symetrii wykresu funkcjiOsią symetrii wykresu funkcji cosinus jest każda prosta o równaniu $x = k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

2. Środkiem symetrii wykresu funkcjiśrodek symetrii wykresu funkcjiŚrodkiem symetrii wykresu funkcji cosinus jest każdy punkt o współrzędnych $(\frac{π}{2} + k π, 0)$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Dowód

1. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującej faktu dotyczącego osi symetrii wykresu funkcji:

Prosta $x = a$ jest osią symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem w przypadku funkcji cosinus chcemy wykazać, że dla dowolnej liczby $x \in ℝ$ zachodzi równość: $\cos x = \cos (2 k π - x)$ .

Najpierw skorzystamy z zależności $\cos (- x) = \cos x$ . Zatem

$\cos (2 k π - x) = \cos (x - 2 k π)$

a następnie wykorzystamy okresowość funkcji cosinus:

$\cos (x - 2 k π) = \cos x$ .

Ostatecznie otrzymujemy:

$\cos (2 k π - x) = \cos (x - 2 k π) = \cos x$ ,

co kończy dowód.

2. Aby udowodnić tę własność skorzystamy z następującego warunku istnienia środka symetrii wykresu funkcji:

Punkt o współrzędnych $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość:

$2 b - f (x) = f (2 a - x)$ .

Zatem musimy sprawdzić, że dla dowolnej liczby rzeczywistej $x$ zachodzi równość:

$2 \cdot 0 - \cos x = \cos (2 \cdot (\frac{π}{2} + k π) - x)$ .

czyli

$- \cos x = \cos (π + 2 k π - x)$ .

Najpierw skorzystamy z okresowości funkcji cosinus: $\cos (π + 2 k π - x) = \cos (π - x)$ , a następnie ze wzoru redukcyjnego: $\cos (π - x) = - \cos (x)$ .

Zatem mamy:

$\cos (2 \cdot (\frac{π}{2} + k π) - x) = \cos (π + 2 k π - x) = \cos (π - x) = - \cos (x)$ ,

co kończy dowód.

Przykład 1

Podamy okres zasadniczy funkcji:

$y = 3 \cos x$

$y = \cos 4 x$

$y = |\cos x|$

$y = \cos (x + 2)$

Rozwiązanie:

Okresem zasadniczym funkcji $y = 3 \cos x$ jest $T = 2 π$ , gdyż $3 \cos (2 π + x) = 3 \cos x$ .

Okresem zasadniczym funkcji $y = \cos 4 x$ jest $T = \frac{π}{2}$ , gdyż $\cos 4 (\frac{π}{2} + x) = \cos (2 π + 4 x) = \cos 4 x$ .

Okresem zasadniczym funkcji $y = |\cos x|$ jest $T = π$ , gdyż $|\cos (π + x)| = |- \cos x| = |\cos x|$ .

Okresem zasadniczym funkcji $y = \cos (x + 2)$ jest $T = 2 π$ , gdyż $\cos ((2 π + x) + 2) = \cos (2 π + x + 2) = \cos (x + 2)$ .

Przykład 2

Podamy miejsca zerowe funkcji:

$y = 3 \cos x$

$y = \cos 4 x$

$y = |\cos x|$

$y = \cos (x + 2)$

Rozwiązanie:

Równanie $3 \cos x = 0$ ma takie same rozwiązania jak równanie $\cos x = 0$ , a zatem miejscami zerowymi funkcji $y = 3 \cos x$ są: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązaniami równania $\cos 4 x = 0$ są wszystkie liczby $x$ , dla których $4 x = \frac{π}{2} + k π$ , czyli $x = \frac{π}{8} + \frac{k π}{4}$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Równanie $|\cos x| = 0$ ma takie same rozwiązania jak równanie $\cos x = 0$ , a zatem miejscami zerowymi funkcji $y = |\cos x|$ są: $x = \frac{π}{2} + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Rozwiązaniami równania $\cos (x + 2) = 0$ są wszystkie liczby $x + 2 = \frac{π}{2} + k π$ , czyli $x = \frac{π}{2} - 2 + k π$ , gdzie $k \in ℤ$ .

Przykład 3

Która wartość jest większa: $\cos (- \frac{π}{9})$ czy $\cos \frac{3 π}{28}$ ?

Rozwiązanie:

Korzystając z parzystości funkcji cosinus mamy: $\cos (- \frac{π}{9}) = \cos \frac{π}{9}$ .

Zauważmy, że $\frac{π}{9} \in ⟨0, \frac{π}{2}⟩$ oraz $\frac{3 π}{28} \in ⟨0, \frac{π}{2}⟩$ . Ponadto $\frac{π}{9} > \frac{3 π}{28}$ . Ponieważ funkcja cosinus w przedziale $⟨0, \frac{π}{2}⟩$ jest malejąca, zatem $\cos \frac{π}{9} < \cos \frac{3 π}{28}$ .

Przykład 4

Podamy zbiory wartości funkcji:

$y = 2 \cos (x - 1)$

$y = 3 |\cos (2 x + 1)| + 2$

Rozwiązanie:

Ponieważ liczba $x - 1$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zatem zbiorem wartości funkcji $y = \cos (x - 1)$ jest przedział $⟨- 1, 1⟩$ . Wobec tego zbiorem wartości funkcji $y = 2 \cos (x - 1)$ jest przedział $⟨- 2, 2⟩$ .

Ponieważ liczba $2 x + 1$ jest dowolną liczbą rzeczywistą, zatem zbiorem wartości funkcji $y = \cos (2 x + 1)$ jest przedział $⟨- 1, 1⟩$ . Wobec tego zbiorem wartości funkcji $y = |\cos (2 x + 1)|$ jest przedział $⟨0, 1⟩$ . W konsekwencji zbiorem wartości funkcji $y = 3 |\cos (2 x + 1)| + 2$ jest przedział $⟨2, 5⟩$ .

Słownik

oś symetrii wykresu funkcji

prosta $x = a$ jest osią symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $f (x) = f (2 a - x)$

środek symetrii wykresu funkcji

punkt o współrzędnych $(a, b)$ jest środkiem symetrii wykresu funkcji $y = f (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby $x$ z dziedziny zachodzi równość $2 b - f (x) = f (2 a - x)$

Wprowadzenie

Aplet

Słownik