Warto przeczytać

Z przeprowadzonych eksperymentów wynika, że na cząstkę obdarzoną ładunkiem elektrycznym $q$, poruszającą się z prędkością $\overrightarrow{v}$ w polu magnetycznympole magnetycznepolu magnetycznym o indukcji $\overrightarrow{B}$ działa siła magnetyczna - zwana siłą Lorentzasiła Lorentzasiłą Lorentza - opisana matematycznie w następujący sposób:

przy czym $q$ niesie informację o znaku ładunku. Np. w przypadku elektronu $q=-e$.

Siła magnetyczna wyrażona jako iloczyn wektorowy ma następujące właściwości:

1. Jej wartość opisana jest wzorem $|{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}}|=|q||\overrightarrow{v}||\overrightarrow{B}|\sin \measuredangle (\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}).$

2. Wektor siły ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}}$ jest prostopadły zarówno do wektora prędkości $\overrightarrow{v}$ jak i wektora indukcji magnetycznej $\overrightarrow{B}$ (a więc prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{B}$).

3. Zwrot wektora siły ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}}$ jest określony regułą śruby prawoskrętnej, co pokazano na Rys. 1a.

R12nhzL8w3C7y

Rys. 1a. (po lewej) Rysunek przedstawia poziomą płaszczyznę. Na płaszczyźnie leżą dwa wektory o wspólnym punkcie zaczepienia. Pierwszy wektor jest oznaczony literą małe v ze strzałką nad nią, drugi wektor jest oznaczony literą wielkie B ze strzałką nad nią. Między wektorami zaznaczono kąt alfa. Ze wspólnego punktu zaczepienia wektorów wychodzi trzeci wektor prostopadły do płaszczyzny i skierowany do góry. Oznaczony jest literą wielkie F z indeksem dolnym mag. Pod płaszczyzną narysowana jest śruba. Strzałka wskazuje kierunek obrotu śruby w prawo, druga strzałka skierowana do góry wskazuje kierunek wkręcania śruby. Rys. 1b. (po prawej) Na rysunku pokazana jest prawa dłoń z kciukiem wyciągniętym do góry, a pozostałymi czterema palcami zgiętymi pod kątem prostym. Wzdłuż zgiętych palców narysowany jest wektor prędkości tak, że palce wskazują kierunek tego wektora. Wektor ten oznaczony jest literą małe v ze strzałką nad nią. Z wnętrza dłoni wychodzi wektor indukcji oznaczony literą wielkie B ze strzałką nad nią. Wzdłuż kciuka narysowany jest wektor siły oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym mag.

Na Rys. 1b. pokazano, w jaki sposób użyć prawej dłoni do znalezienia kierunku i zwrotu wektora będącego iloczynem wektorowym. Kierujemy palce dłoni wzdłuż wektora $\overrightarrow{v}$ (mają pokazywać kierunek tego wektora), ale dłoń należy ustawić tak, by wektor indukcji $\overrightarrow{B}$ „wychodził” z wnętrza dłoni. Wtedy można „nakręcić wektor $\overrightarrow{v}$ na $\overrightarrow{B}$”. Przy takim ustawieniu dłoni kciuk pokaże kierunek i zwrot wektora ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{g}}$. Warto wiedzieć, że w ten sposób znajdziemy dowolny wektor będący iloczynem wektorowym dwóch wektorów. Reguła śruby prawoskrętnej, czy reguła prawej dłoni jest pod tym względem uniwersalna.

Dla ładunku ujemnego (np. elektronu) trzeba, po zastosowaniu omówionej procedury, zmienić zwrot siły na przeciwny, ewentualnie zastosować regułę śruby lewoskrętnej albo użyć lewej ręki.

Zwróćmy uwagę na trzy interesujące fakty związane z działaniem siły magnetycznej na poruszającą się naładowaną cząstkę.

Po pierwsze:

Naładowana cząstka może poruszać się w polu magnetycznympole magnetycznepolu magnetycznym, a siła magnetyczna w ogóle nie będzie na nią działała. Taka sytuacja zdarzy się, gdy kąt między wektorem prędkości a wektorem indukcji będzie wynosił zero albo 180° (sinus tego kąta będzie równy zeru). Tak więc wtedy, gdy cząstka porusza się równolegle do linii pola magnetycznegolinie pola magnetycznegolinii pola magnetycznego, nie działa na nią siła.

Po drugie:

Maksymalna wartość siły magnetycznej ze względu na kąt między $\overrightarrow{v}$ a $\overrightarrow{B}$ występuje przy kącie 90° albo 270° i jest równa $F_{max}=\left|q\right|vB$ (pamiętamy, że sinus kąta prostego wynosi 1 i jest to jego maksymalna wartość).

Po trzecie:

Siła magnetyczna, działająca na cząstkę poruszającą się w polu magnetycznym jest skierowana prostopadle do wektora prędkości $\overrightarrow{v}$, a więc także prostopadle do wektora przesunięcia $\overrightarrow{\Delta r}$. Jeśli zapiszemy definicję pracy siły $\overrightarrow{F}$ jako $W_F=F\cdot \Delta r\cdot cos\sphericalangle \left(\overrightarrow{F},\overrightarrow{\Delta r}\right)$, to widzimy, że praca siły działającej pod kątem 90° do przesunięcia ciała jest równa zeru. Wobec tego również i praca siły magnetycznej jest (zawsze!) równa zeru. Siła ta nie może zmienić energii kinetycznej naładowanej cząstki – nie może jej przyspieszyć. Za to zmienia kierunek jej ruchu!

Siła magnetyczna działająca prostopadle do wektora prędkości cząstki jest więc siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową - powoduje zakrzywienie toru ruchu cząstki. Widzimy to na pięknym zdjęciu (Rys. 2.) przedstawiającym wiązkę elektronów poruszających się po orbicie kołowej w stałym polu magnetycznym.

R1CBJyqOe871a

Rys. 2. Na zdjęciu widać wnętrze szklanej kuli, w której znajduje się małe jasne kółeczko, z którego emitowana jest wiązka elektronów. Tor ruchu elektronów to świecący fioletowo kolisty pas o rozmytych brzegach.

Spróbujmy ustalić, od czego zależy promień krzywizny toru cząstki.

Zapiszmy symbolicznie to, że siła magnetyczna jest siłą dośrodkowąsiła dośrodkowasiłą dośrodkową i skorzystajmy z upraszczającego założenia, że $\overrightarrow{v}$ jest prostopadłe do $\overrightarrow{B}$. Możemy spojrzeć na Rys. 3. przedstawiający taką sytuację.

R1SlmPPC4O0eZ

Rys. 3. Na rysunku jest okrąg, przedstawiający tor ruchu cząstki, o promieniu oznaczonym literą małe r. Na okręgu znajduje się małe kółeczko ze znakiem plus, symbolizujące dodatnio naładowaną cząstkę. Narysowano wektor prędkości tej cząstki skierowany stycznie do okręgu. Zwrot wektora prędkości wskazuje na ruch w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu wskazówek zegara. Na rysunku znajduje się kółko z kropką, symbolizujące wektor indukcji magnetycznej skierowany prostopadle do płaszczyzny rysunku w kierunku do nas i oznaczony literą wielkie B ze strzałką nad nią. Wektor siły magnetycznej, oznaczony literą wielkie F z indeksem dolnym mag, skierowany jest wzdłuż promienia i zwrócony do środka okręgu.

więc

skąd wyznaczamy promień krzywizny:

Widzimy, że dla danej cząstki (charakteryzuje ją iloraz $\frac{m}{\left|q\right|}$) i dla danego pola magnetycznegopole magnetycznepola magnetycznego o wartości indukcji $B$ promień okręgu zależy od prędkości cząstki. Na Rys. 4. widzimy ilustrację tego faktu. Zdjęcie przedstawia tory (ślady) różnych cząstek w komorze pęcherzykowej, która została umieszczona w polu magnetycznym.

R1dMc1I1ao4GA

Rys. 4. Na czarnym tle widać wiele białych linii. Część linii ma kierunek poziomy lub odchylający się nieco od poziomu. Widać też wiele linii krzywych o kształcie spirali.

Ta obserwacja pozwala nam wyciągnąć wniosek dotyczący kierunku ruchu cząstki, a dalej, jeśli znamy zwrot wektora indukcji magnetycznej, to możemy zidentyfikować znak ładunku cząstki.

Na przykład: wiemy, że wektor $\overrightarrow{B}$ jest skierowany z głębi zdjęcia do nas. Cząstka zakreślająca dużą spiralę w górnej części rysunku porusza się w górnej części toru w lewą stronę. Aby zakrzywienie toru następowało – tak, jak jest to widoczne – w dół, cząstka musi mieć ładunek ujemny.

Słowniczek