Wróć do informacji o e-podręczniku Wydrukuj Pobierz materiał do PDF Pobierz materiał do EPUB Pobierz materiał do MOBI Zaloguj się, aby dodać do ulubionych Zaloguj się, aby skopiować i edytować materiał Zaloguj się, aby udostępnić materiał Zaloguj się, aby dodać całą stronę do teczki

TrygonometriatrygonometriaTrygonometria pojawiła się już w starożytnej Grecji, choć wartości funkcji trygonometrycznych danego kąta badano wówczas jako zależności między cięciwą a długością łuku opartego na tej cięciwie, a nie jako stosunki długości boków w trójkącie prostokątnym.

RAVCP99Q39xOV
Aryabhata
Źródło: dostępny w internecie: https:\\wiki.commons.org, domena publiczna.

Za twórcę pierwszych tablic trygonometrycznych uważa się hinduskiego uczonego Aryabhatę 476-550 n.e.. Podał on wartości funkcji sinussinus kąta ostregosinuscosinuscosinus kąta ostregocosinus co 3,75° stopnia od 0° do 90° z dokładnością do czterech miejsc znaczących. W X wieku islamski matematyk Abu al‑Wafa stworzył tablice sinusa z krokiem 0,25° i dokładnością 8 cyfr dziesiętnych, a także dokładne tablice tangensa.

W dobie komputerów umiemy znajdować wartości funkcji trygonometrycznych z dużą dokładnością. Często są to liczby niewymierne, więc w praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami. W tablicach funkcji trygonometrycznych, z których będziesz mógł korzystać na maturze, podane są wartości funkcji trygonometrycznych (sinus, cosinus oraz tangens) kątów od 0° do 90° z dokładnością do czterech miejsc po przecinku.

W tej lekcji nauczysz się jak korzystać z tablic trygonometrycznych.

Na początek zobaczmy jak znaleźć w tablicach przybliżoną wartość wskazanej funkcji trygonometrycznej danego kąta.

Przykład 1

Znajdziemy w tablicach trygonometrycznych przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych dla wskazanych kątów:

sin9°, sin77°, sin31°, cos19°, cos49°, cos85°, tg22°, tg41°, tg75°. W zamieszczonej poniżej tablicy znajdziemy odpowiednią komórkę, a następnie odczytamy przybliżoną wartość wskazanej funkcji trygonometrycznej.

Rd6WGO6aq4dLr
Tabela przedstawia wartości funkji trygonometrycznych: sinus, cosinus i tangens dla poszczególnych wartości kątów. W tabeli wyszczególniono wartości wymienionych wyżej funkcji. Są to kolejno: 1. sin9°0,1564, 2. sin77°0,9744, 3. sin31°0,1550, 4. cos19°0,9455, 5. cos49°0,6561, 6. cos85°0,0872, 7. tg22°0,4040, 8. tg41°0,8693, 9. tg75°3,7321.

Oczywiście z pomocą tablic możemy również znaleźć miarę kąta, znając przybliżoną wartość jednej z funkcji trygonometrycznych tego kąta.

Przykład 2

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznychtablice wartości funkcji trygonometrycznychtablic wartości funkcji trygonometrycznych, wskażemy kąt α, znając przybliżoną wartość jednej z funkcji trygonometrycznych tego kąta:

sinα=0,5446, sinα=0,6691, sinα=0,9272, cosα=0,9205, cosα=0,7193, cosα=0,0872, tgα=0,6745, tgα=1,7321, tgα=14,3007.

W zamieszczonej poniżej tablicy wskażemy odpowiednią komórkę, a następnie odczytamy miarę kąta, który spełnia wskazany w poleceniu warunek.

R9C96OkChVnQP
Tabela przedstawia wartości funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus i tangens dla poszczególnych wartości kątów. W tabeli wyszczególniono wartości szukanych kątów. Są to kolejno: 1. sin33°0,5446, 2. sin42°0,6691, 3. sin68°0,9272, 4. cos23°0,9205, 5. cos44°0,7193, 6. cos85°0,0872, 7. tg34°0,6745, 8. tg60°1,7321, 9. tg86°14,3007.

Co zrobić, jeśli będziemy szukać kąta α, dla którego sinα=13? Wartość 13 nie występuje w tablicach, którymi się posługujemy.

Przykład 3

Korzystając z tablic wartości funkcji trygonometrycznychtablice wartości funkcji trygonometrycznychtablic wartości funkcji trygonometrycznych wskażemy kąt α, dla którego:

a) sinα=49

b) cosα=45

c) tgα=3

Rozwiązanie

a) 49=0,4444.... Sprawdzamy w tablicach, że sin260,4384 oraz sin270,4540, więc kąt α ma miarę pomiędzy 2627. Możemy przyjąć α26.

b) 45=0,8. Sprawdzamy w tablicach, że cos36°0,8090 oraz cos370,7968, więc kąt α ma miarę pomiędzy 36°37°. Możemy przyjąć α37°.

c) Sprawdzamy w tablicach, że tg712,9042 oraz tg723,0777, więc kąt α ma miarę pomiędzy 7172. Możemy przyjąć α72.

Skoro tablice funkcji trygonometrycznych podają przybliżone wartości, to musimy nauczyć się porównywać uzyskane wyniki.

Przykład 4

Porównajmy następujące wielkości:

a)  54° i miarę kąta α, dla którego sinα=0,8

b)  liczbę 5 i wartość funkcji tg66°

c)  sumę sin22°+tg43° oraz sumę tg68°-sin77°

Rozwiązanie

a) Z tablic odczytujemy, że sin530,7986 oraz sin540,8090, więc 53°<α<54°.

b) 52,2361, natomiast tg66°2,2460, więc 5<tg66°.

c) sin22°+tg43°0,3746+0,9325=1,3071 natomiast tg68sin772,47510,9744=1,5007, więc sin22°+tg43°<tg68°-sin77°.

Korzystając z własności trójkątów o kątach 30°,60°,90° oraz  45°,45°,90°, umiemy łatwo wskazać dokładne wartości funkcji trygonometrycznych. Dlatego, aby znaleźć wartości funkcji trygonometrycznych kątów 30°, 45°, 60°, korzystamy z tablicy:

α

0°

30°

45°

60°

90°

0

0

π6

π4

π3

π2

sinα

0

12

22

32

1

cosα

1

32

22

12

0

tgα

0

33

1

3

nie istnieje

Słownik

trygonometria
trygonometria

dział matematyki zajmujący się związkami między bokami i kątami trójkątów oraz funkcjami trygonometrycznymi

tablice wartości funkcji trygonometrycznych
tablice wartości funkcji trygonometrycznych

tablice, w których można odczytać przybliżone wartości funkcji trygonometrycznych poszczególnych kątów ostrych

sinus kąta ostrego
sinus kąta ostrego

we współczesnym ujęciu - stosunek długości przyprostokątnej leżącej naprzeciwko tego kąta ostrego do długości przeciwprostokątnej

cosinus kąta ostrego
cosinus kąta ostrego

we współczesnym ujęciu - stosunek długości przyprostokątnej leżącej przy tym kącie ostrym do długości przeciwprostokątnej