Przeczytaj

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema (tymi samymi) niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases},

gdzie:
$x$ oraz $y$ – niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ ,
$c_{1}$ i $c_{2}$ – wyrazy wolne.

przy czym przynajmniej jedna liczba z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera.

Rozwiązanie układu równań

Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem takiego układu równań jest każda para liczb spełniających jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Przy czym taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania.

Równoważne układy równań

Definicja: Równoważne układy równań

Dwa układy równań liniowych z tymi samymi niewiadomymi nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.

Równoważny układ równań

Twierdzenie: Równoważny układ równań

Jeśli z jednego układu równań wyznaczymy jedną niewiadomą i otrzymane wyrażenie podstawimy do drugiego równania, to układ równań złożony z pierwszego równania i tak przekształconego drugiego równania jest równoważnyrównoważne układy równańrównoważny danemu.

Aby otrzymać równanie równoważne, możemy wykonać każde z przekształceń:

uproszczenie wyrażenia znajdujących się po każdej stronie równania;

pomnożenie obu stron danego równania przez tę samą liczbę (to samo wyrażenie), która w dziedzinie równania nie przyjmuje wartości równych zeru;

dodanie do obu stron danego równania takiej samej liczby (tego samego wyrażenia).

Przykład 1

Rozwiążemy równanie $2 \cdot (3 + x) + 4 = \frac{x + 5}{2}$ .

Opuszczamy nawias znajdujący się po lewej stronie równania.

$6 + 2 x + 4 = \frac{x + 5}{2}$

Redukujemy wyrażenie znajdujące się po lewej stronie równania.

$2 x + 10 = \frac{x + 5}{2}$

Mnożymy obie strony równania przez $2$ .

$4 x + 20 = x + 5$

Przenosimy niewiadome na lewą stronę równania, a wyrazy wolne na prawą stronę (dodajemy do obu stron równania taką samą liczbę/takie samo wyrażenie).

$4 x - x = 5 - 20$

Dzielimy obie strony równania przez liczbę $3$ znajdującą się przy niewiadomej.

$3 x = - 15$

Otrzymaliśmy rozwiązanie równania.

$x = - 5$ .

Przykład 2

Aby wyznaczyć z równania jedną z kilku niewiadomych, postępujemy podobnie jak podczas rozwiązywania równań z jedną niewiadomą. Możemy zatem mnożyć lub dzielić obie strony równania przez to samo niezerowe wyrażenie, czy też przenosić wyrażenia na drugą stronę równania. Chcemy, aby wyznaczana zmienna znajdowała się po jednej stronie równania, a wszystkie pozostałe zmienne oraz liczby – po drugiej stronie.

Przekształcimy równanie liniowe z dwiema niewiadomymi tak, aby wyznaczyć z niego wskazaną niewiadomą.

$3 x + 2 y = 5 \cdot (x + y) + 4$

Wyznaczymy niewiadomą $x$ .

Opuszczamy nawias znajdujący się po prawej stronie równania.

$3 x + 2 y = 5 x + 5 y + 4$

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie $(- 2 y)$ .

$3 x = 5 x + 3 y + 4$

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie $(- 5 x)$ .

$- 2 x = 3 y + 4$

Dzielimy obie strony równania przez $(- 2)$ .

$x = - \frac{3}{2} y - \frac{4}{2}$

Wyznaczyliśmy z równania niewiadomą $x$ .

$x = - \frac{3}{2} y - 2$

Wyznaczymy teraz niewiadomą $y$ .

Opuszczamy nawias znajdujący się po prawej stronie równania.

$3 x + 2 y = 5 x + 5 y + 4$

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie $(- 5 y)$ .

$3 x - 3 y = 5 x + 4$

Dodajemy do obu stron równania wyrażenie $(- 3 x)$ .

$- 3 y = 2 x + 4$

Dzielimy obie strony równania przez $(- 3)$ .

Wyznaczyliśmy z równania niewiadomą $y$ .

$y = - \frac{2}{3} x - \frac{4}{3}$ .

Rozwiązywanie układów równań metodą podstawianiametoda podstawianiametodą podstawiania polega na:

wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z jednego z równań układu,

podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej,

rozwiązaniu otrzymanego równania z jedną niewiadomą,

podstawieniu otrzymanej wartości niewiadomej do pierwszego równania.

Warto zastanowić się, którą z niewiadomych wyznaczyć. Ma to wpływ na stopień trudności rozwiązywanego równania z jedną niewiadomą.

Przykład 3

Dany jest układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiukład równań liniowych z dwiema niewiadomymi $\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$ .

Wyznaczymy niewiadomą $x$ z pierwszego równania.

$- 3 x + 2 y = 5$

$- 3 x = - 2 y + 5 | : (- 3)$

$x = \frac{2}{3} y - \frac{5}{3}$

Wyznaczymy z pierwszego równania niewiadomą $y$ .

$- 3 x + 2 y = 5$

$2 y = 3 x + 5 | : 2$

$y = \frac{3}{2} x + \frac{5}{2}$

Wyznaczymy teraz niewiadomą $x$ z drugiego równania.

$2 x + y = 4$

$2 x = - y + 4 | : 2$

$x = - \frac{1}{2} y + 2$

Wyznaczymy z drugiego równania niewiadomą $y$ .

$2 x + y = 4$

$y = - 2 x + 4$

Możemy łatwo zauważyć, że najlepszym wyborem jest wyznaczenie niewiadomej $y$ z drugiego równania. W pozostałych pojawiły się ułamki, co będzie podnosić stopień trudności rozwiązania równania otrzymanego po podstawieniu tego wyrażenia.

Przykład 4

Rozwiążemy metodą podstawiania układ równań z Przykładu 3.

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ 2 x + y = 4 \end{cases}$

Wyznaczamy niewiadomą $y$ z drugiego równania.

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 y = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania w miejsce niewiadomej $y$ .

$\{\begin{cases} - 3 x + 2 \cdot (- 2 x + 4) = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 3 x - 4 x + 8 = 5 \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Rozwiązujemy pierwsze równanie.

$\{\begin{cases} - 7 x = - 3 | : (- 7) \\ y = - 2 x + 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $x$ podstawiamy do drugiego równania.

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{7} \\ y = - 2 \cdot \frac{3}{7} + 4 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} x = \frac{3}{7} \\ y = \frac{22}{7} \end{cases}$ .

Przykład 5

Dany jest układ równań $\{\begin{cases} x - 2 y = 10 \\ 5 x + y = 6 \end{cases}$ .

Rozwiążemy ten układ stosując metodę podstawiania.

Wyznaczamy niewiadomą $x$ z pierwszego równania.
(Moglibyśmy też wyznaczyć $y$ z drugiego równania. Spróbuj samodzielnie rozwiązać układ w ten sposób).

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 5 x + y = 6 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 5 \cdot (2 y + 10) + y = 6 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 10 y + 50 + y = 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ 11 y = - 44 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = 2 y + 10 \\ y = - 4 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do pierwszego równania i obliczmy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} x = 2 \cdot (- 4) + 10 \\ y = - 4 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = - 4 \end{cases}$ .

Przykład 6

W niektórych układach równań wygodniej jest wyznaczyć wyrażenie zawierające niewiadomą (np. $3 x$ , $2 y$ ).

Rozwiążemy metodą podstawiania układ równań $\{\begin{cases} 2 x + 7 y = 12 \\ 4 x + 3 y = 2 \end{cases}$ .

Wyznaczamy wyrażenie $2 x$ z pierwszego równania.

$\{\begin{cases} 2 x = - 7 y + 12 \\ 2 \cdot (2 x) + 3 y = 2 \end{cases}$

Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do drugiego równania w miejsce wyrażenia $2 x$ .

$\{\begin{cases} 2 x = - 7 y + 12 \\ 2 \cdot (- 7 y + 12) + 3 y = 2 \end{cases}$

Rozwiązujemy drugie równanie.

$\{\begin{cases} 2 x = - 7 y + 12 \\ - 14 y + 24 + 3 y = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x = - 7 y + 12 \\ - 11 y = - 22 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x = - 7 y + 12 \\ y = 2 \end{cases}$

Otrzymaną wartość $y$ podstawiamy do pierwszego równania i obliczmy wartość niewiadomej $x$ .

$\{\begin{cases} 2 x = - 7 \cdot 2 + 12 \\ y = 2 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x = - 2 \\ y = 2 \end{cases}$

Otrzymaliśmy parę liczb, będącą rozwiązaniem układu równań

$\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = 2 \end{cases}$ .

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

równoważne układy równań

układy równań liniowych – układy z tymi samymi niewiadomymi, które mają ten sam zbiór rozwiązań

metoda podstawiania

metoda polegająca na wyznaczeniu dowolnej niewiadomej z dowolnego równania i podstawieniu tak uzyskanego wyrażenia do drugiego z równań w miejsce wyznaczonej niewiadomej

Wprowadzenie

Animacja

Słownik