Przeczytaj

Podczas lekcji omówimy sposoby wyznaczania równania prostej symetrycznej do prostej o zadanym równaniu względem osi rzędnych układu współrzędnych.

Do wyznaczania równań prostych w symetrii względem osi $Y$ wykorzystamy definicję punktów symetrycznych względem osi $Y$ .

punkty symetryczne względem osi

Y

Definicja: punkty symetryczne względem osi

Y

Punktem symetrycznym do punktu $P$ o współrzędnych $P = (x, y)$ względem osi $Y$ jest punkt $P'$ o współrzędnych $P' = (- x, y)$ .

Punktami symetrycznymi względem osi $Y$ punkty symetryczne względem osi YPunktami symetrycznymi względem osi $Y$ są na przykład punkty o współrzędnych:

$P = (3, 1)$ oraz $P = (- 3, 1)$ ,
$P = (0, 2)$ oraz $P' = (0, 2)$
$P = (3, 0)$ oraz $P' = (- 3, 0)$ .

Ważne!

Obrazem punktu $P = (0, y)$ w symetrii względem osi $Y$ jest ten sam punkt.

W celu wyznaczenia równania prostej w symetrii względem osi $Y$ posłużymy się równaniem ogólnym oraz równaniem kierunkowym prostej.

Sposób $I$

Wyznaczenie równania prostej symetrycznej względem osi $Y$ , gdy dane są:

punkt przecięcia prostej z osią $X$ ,
punkt przecięcia prostej z osią $Y$ ,
równanie prostej w postaci ogólnej.równanie prostej w postaci ogólnejrównanie prostej w postaci ogólnej.

Równanie prostej w postaci ogólnej zapiszemy jako $A x + B y + C = 0$ .

Załóżmy, że współczynniki $A$ , $B$ , $C$ są różne od $0$ .

Punkt przecięcia tej prostej z osią $X$ ma wówczas współrzędne $K = (- \frac{C}{A}, 0)$ , a punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $L = (0, - \frac{C}{B})$ .

Opiszemy teraz prostą symetryczną względem osi $Y$ za pomocą równania w postaci ogólnej $A' x + B' y + C' = 0$ .

Załóżmy, że współczynniki $A^{'}$ , $B^{'}$ , $C^{'}$ są różne od $0$ .

Do tej prostej należą punkty o współrzędnych $K' = (\frac{C}{A}, 0)$ oraz $L' = (0, - \frac{C}{B})$ .

Podstawimy współrzędne tych punktów do równania ogólnego tej prostej. Otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} A' \cdot \frac{C}{A} + B' \cdot 0 + C' = 0 \\ A' \cdot 0 + B' \cdot \frac{- C}{B} + C' = 0 \end{cases}$

Jeżeli pierwsze równanie pomnożymy przez $A$ , a drugie przez $B$ , to otrzymamy układ równań:

$\{\begin{cases} A' C + A C' = 0 \\ - B' C + B C' = 0 \end{cases}$

Otrzymujemy zatem $A' = - \frac{A C'}{C}$ oraz $B' = \frac{B C'}{C}$ .

Jeżeli podstawimy obliczone współczynniki do równania prostej symetrycznej, to otrzymujemy równanie:

$- \frac{A C'}{C} x + \frac{B C'}{C} y + C' = 0$

Mnożąc obie strony równania przez ułamek $\frac{C}{C'}$ , otrzymujemy równanie prostej symetrycznej do prostej $A x + B y + C = 0$ względem osi $Y$ :

$- A x + B y + C = 0$

Sposób $II$

Wyznaczenie równania prostej symetrycznej względem osi $Y$ , gdy dane są:

punkt przecięcia z osią $X$ ,
punkt przecięcia z osią $Y$ ,
równanie w postaci kierunkowejrównanie w postaci kierunkowej.

Określimy prostą w postaci kierunkowej za pomocą równania $y = a x + b$ .

Punkt przecięcia tej prostej z osią $X$ ma wówczas współrzędne $P = (- \frac{b}{a}, 0)$ , a punkt przecięcia z osią $Y$ ma współrzędne $Q = (0, b)$ .

Obrazem punktu $P$ w symetrii względem osi $Y$ jest punkt o współrzędnych $P' = (\frac{b}{a}, 0)$ , a obrazem punktu $Q$ jest punkt $Q' = (0, b)$ .

Zapiszmy równanie prostej symetrycznej względem osi $Y$ w postaci $y = a' x + b'$ .

Podstawimy współrzędne punktów $P'$ oraz $Q'$ do równania tej prostej. Otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 0 = a' \cdot \frac{b}{a} + b' \\ b = a' \cdot 0 + b' \end{cases}$

Z układu równań obliczamy, że $a' = - a$ oraz $b' = b$ , zatem równanie prostej symetrycznej do prostej $y = a x + b$ względem osi $Y$ zapisujemy w postaci: $y = - a x + b$ .

Proste zadane równaniami $x = a$ oraz $x = - a$ , gdzie $a \in ℝ$ , są zawsze symetryczne względem osi $Y$ .

Do wyznaczenia równania prostej w postaci kierunkowej wystarczy znać współrzędne dwóch dowolnych punktów, które należą do tej prostej.

Do wyznaczenia równania prostej symetrycznej względem osi $Y$ wystarczy zatem znaleźć obrazy w symetrii względem osi $Y$ tych dwóch dowolnych punktów, a następnie wyznaczyć równanie prostej przechodzącej przez te punkty.

Przykład 1

Wyznaczymy równanie prostej w symetrii względem osi $Y$ do prostej o równaniu $y = 3 x + 2$ .

Rozwiązanie:

Zauważmy, że do podanej prostej należą punkty o współrzędnych $A = (0, 2)$ oraz $B = (- 1, - 1)$ .

Obrazem tych punktów w symetrii względem osi $Y$ są punkty o współrzędnych $A' = (0, 2)$ oraz $B^{'} = (1, - 1)$ .

Oznaczmy równanie prostej w symetrii względem osi $Y$ w postaci $y = a' x + b'$ .

Podstawiamy do tego równania współrzędne punktów $A'$ oraz $B'$ i otrzymujemy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 = 0 \cdot a + b \\ - 1 = 1 \cdot a + b \end{cases}$

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb $a = - 3$ oraz $b = 2$ .

Prosta symetryczna względem osi $Y$ jest zatem opisana za pomocą równania $y = - 3 x + 2$ .

Przykład 2

Wyznaczymy równania prostych symetrycznych względem osi $Y$ do prostych określonych równaniami:

a) $2 x + 3 y - 1 = 0$

b) $y = 5 x - 3$

Rozwiązanie:

a) równanie ogólne prostej symetrycznej względem osi $Y$ jest postaci $- 2 x + 3 y - 1 = 0$

b) równanie kierunkowe prostej symetrycznej względem osi $Y$ jest postaci $y = - 5 x - 3$

Jeżeli wiemy, jakie warunki muszą spełniać współczynniki w równaniach prostych w symetrii względem osi $Y$ , wówczas możemy znajdować wartości parametrów, dla których te proste są symetryczne względem osi rzędnych.

Przykład 3

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametrów $p$ i $q$ , proste o równaniach $y = (p + q) x + 2$ oraz $y = 3 x + (2 p - q)$ , są symetryczne względem osi $Y$ .

Rozwiązanie:

Proste o podanych równaniach są symetryczne względem osi $Y$ , gdy spełniony jest układ równań:

$\{\begin{cases} p + q = - 3 \\ 2 p - q = 2 \end{cases}$

Rozwiązaniem układu równań są liczby $p = - \frac{1}{3}$ oraz $q = - 2 \frac{2}{3}$ .

Dla otrzymanych wartości parametrów $p$ i $q$ , proste są symetryczne względem osi $Y$ .

Przykład 4

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ , proste o równaniach $y = m^{2}$ oraz $y = (m - 12) x + 3$ są symetryczne względem osi $Y$ .

Rozwiązanie:

Wiadomo, że proste o równaniach w postaci kierunkowej są symetryczne względem osi $Y$ , gdy ich współczynniki $a$ są liczbami przeciwnymi, a współczynniki $b$ są takie same.

Rozwiązujemy zatem równanie:

$m^{2} = - (m - 12)$

Równanie przekształcamy do postaci $m^{2} + m - 12 = 0$ .

Rozwiązaniami tego równania są liczby $m = - 4$ lub $m = 3$ . Proste są zatem symetryczne względem osi $Y$ , gdy wartość $m$ jest równa jednej z otrzymanych liczb.

Słownik

równanie prostej w postaci ogólnej

równanie postaci $A x + B y + C = 0$ , gdzie $A$ i $B$ nie są jednocześnie równe $0$

równanie prostej w postaci kierunkowej

równanie postaci $y = a x + b$ , gdzie $a, b \in ℝ$ , gdzie $a$ nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej

punkty symetryczne względem osi Y

punkty o współrzędnych $P = (x, y)$ i $P' = (- x, y)$

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Słownik