Przeczytaj

Oś liczbowa

Definicja: Oś liczbowa

Oś liczbowa to prosta, na której ustalono zwrot dodatni, punkt zerowy i jednostkę.

Poniższy rysunek przedstawia ilustrację zbioru liczb całkowitych na osi liczbowej.

R1dbViwsh3s4M

Na ilustracji znajduje się oś X. Oś obejmuje liczby od minus sześć do siedem.

Każdej liczbie wymiernej możemy przyporządkować miejsce na osi liczbowej. Także liczby niewymierne mają przyporządkowane miejsca na osi.

Każdej liczbie rzeczywistej można przyporządkować dokładnie jeden punkt na osi liczbowej i na odwrót, każdy punkt osi odpowiada dokładnie jednej liczbie rzeczywistej.

W zbiorze liczb rzeczywistych można wyróżnić szczególne podzbiory zwane przedziałami liczbowymi. Przy założeniu, że $a < b$ , rozważa się następujące rodzaje przedziałów:

Przedział domknięty

Definicja: Przedział domknięty

Przedział domknięty $⟨ a, b ⟩$ jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających warunek $a \leq x \leq b$ . Inaczej mówiąc, do przedziału $⟨ a, b ⟩$ należą liczby $a, b$ oraz wszystkie liczby, które są większe od $a$ i jednocześnie mniejsze od $b$ .

Formalny zapis wygląda następująco:

⟨ a, b ⟩ = \{x : x \in ℝ i a \leq x \leq b\}

Ilustracją przedziału domkniętegoprzedział domkniętyprzedziału domkniętego na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej jest odcinek wraz z jego końcami:

R987jm3gHoU8g

Na ilustracji znajduje się oś X z zaznaczonymi literami A oraz B. Nad literą A jak i B znajduje się kropka wypełniona kolorem. Pole pomiędzy A a B jest zaznaczone inną barwą.

Przedział otwarty

Definicja: Przedział otwarty

Przedział otwarty $(a, b)$ jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających warunek $a < x < b$ . Inaczej mówiąc, do przedziału $(a, b)$ należą wszystkie liczby większe od $a$ i jednocześnie mniejsze od $b$ .

Formalny zapis wygląda następująco:

(a, b) = {x : x \in ℝ i a < x < b}

Ilustracją przedziału otwartegoprzedział otwartyprzedziału otwartego na osi liczbowejoś liczbowaosi liczbowej jest wnętrze odcinka (odcinek bez jego końców, co zaznaczamy, rysując niezamalowaną kropkę na końcach).

R50dGhKeA49uf

Na ilustracji znajduje się oś X z zaznaczonymi literami A oraz B. Nad literą A jak i B znajdują się kropki, które nie są wypełnione kolorem. Pole pomiędzy A a B jest zaznaczone inną barwą.

Rozróżniamy także przedziały jednostronnie domknięte:

$⟨ a, b)$ jest to przedział lewostronnie domknięty,

RLIiP5gZ5JNRI

Na ilustracji znajduje się oś X z zaznaczonymi litrami A oraz B. Nad literą A jak i B znajdują się kropki. Kropka nad literą A wypełniona jest kolorem, kropka nad literą B nie jest wypełniona kolorem. Pole pomiędzy A a B zaznaczone jest inną barwą.

$(a, b ⟩$ jest to przedział prawostronnie domknięty.

R1CR9hjbanlB6

Na ilustracji znajduje się oś X z zaznaczonymi literami A oraz B. Nad literą A jak i B znajdują się kropki. Kropka nad literą B jest wypełniona kolorem, kropka nad literą A nie jest wypełniona kolorem.

Przedziały wiążą się ściśle z rachunkiem na zbiorach oraz nierównościami.

Przykład 1

Zaznacz na osi liczbowej przedział $⟨ 2, 7)$ .

Korzystając z definicji wiemy, że liczby należące do tego przedziału są większe lub równe $2$ i jednocześnie mniejsze od $7$ , zatem ilustracja wygląda następująco:

R1EbtcIUppGB6

Na ilustracji znajduje się oś X z zaznaczonymi cyframi od minus cztery do dziesięciu. Nad cyfrą dwa jak i siedem znajdują się kropki. Kropka naad cyfrą dwa wypełniona jest kolorem, kropka nad cyfrą siedem nie jest wypełniona kolorem. Pole pomiędzy cyframi jest zaznaczone inną barwą.

Przykład 2

Zaznacz na osi liczbowej zbiór liczb spełniających warunek: $- 3 \leq x \leq 2$ .

Korzystając z definicji wiemy, że liczby należące do tego przedziału są większe lub równe $- 3$ i jednocześnie mniejsze lub równe od $2$ , zatem ilustracja wygląda następująco:

Rabg1102iTiXc

Na ilustracji znajduje się oś X z zaznaczonymi cyframi od minus sześć do osiem. Nad cyfrą minus trzy jak i dwa znajdują się kropki. Obie kropki wypełnione są kolorem. Pole pomiędzy cyframi zaznacozne jest inną barwą.

Słownik

oś liczbowa

oś liczbowa to prosta, na której ustalono zwrot dodatni, punkt zerowy i jednostkę

przedział domknięty

przedział domknięty $⟨ a, b ⟩$ jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających warunek $a \leq x \leq b$ . Inaczej mówiąc, do przedziału $⟨ a, b ⟩$ należą liczby $a, b$ oraz wszystkie liczby, które są większe od $a$ i jednocześnie mniejsze od $b$

przedział otwarty

przedział otwarty $(a, b)$ jest to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych $x$ spełniających warunek $a < x < b$ . Inaczej mówiąc, do przedziału $(a, b)$ należą wszystkie liczby większe od $a$ i jednocześnie mniejsze od $b$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik